Номер 1157, страница 328 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1157. Вычислить:

1) $\sin\left(\arccos\frac{1}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$;

2) $\cos\left(\arccos\frac{4}{5} - \arccos\frac{3}{5}\right)$.

1) $\sin\left(\arccos\frac{1}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{3}$ и $\beta = \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Из определения арккосинуса следует, что $\cos\alpha = \frac{1}{3}$ и $\cos\beta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Также, по определению, углы $\alpha$ и $\beta$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$, на котором синус является неотрицательной функцией ($\sin\alpha \ge 0$ и $\sin\beta \ge 0$).

Найдем синусы этих углов, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$:
$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
$\sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу синуса суммы:
$\sin\left(\arccos\frac{1}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{9} + \frac{1}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

Замечание: Если обозначить $\alpha = \arccos\frac{1}{3}$, то из вычислений выше $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Поскольку $\cos\alpha > 0$, то $\alpha \in [0, \pi/2]$, и значит $\alpha = \arcsin\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Тогда выражение принимает вид $\sin\left(\arcsin\frac{2\sqrt{2}}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$. Используя тождество $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, получаем $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Ответ: 1.

2) $\cos\left(\arccos\frac{4}{5} - \arccos\frac{3}{5}\right)$

Воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Пусть $\alpha = \arccos\frac{4}{5}$ и $\beta = \arccos\frac{3}{5}$. Из определения арккосинуса следует, что $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos\beta = \frac{3}{5}$. Углы $\alpha$ и $\beta$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$, поэтому их синусы неотрицательны.

Найдем синусы этих углов из тождества $\sin^2x + \cos^2x = 1$:
$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
$\sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Подставим найденные значения в формулу косинуса разности:
$\cos\left(\arccos\frac{4}{5} - \arccos\frac{3}{5}\right) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{25} + \frac{12}{25} = \frac{24}{25}$.

Замечание: Обозначим $\alpha = \arccos\frac{4}{5}$ и $\beta = \arccos\frac{3}{5}$. Из вычислений выше $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Так как $\cos\alpha>0$, то $\alpha = \arcsin\frac{3}{5}$. Используя тождество $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, имеем $\arcsin\frac{3}{5} + \arccos\frac{3}{5} = \frac{\pi}{2}$, что равносильно $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$. Отсюда $\alpha = \frac{\pi}{2} - \beta$. Искомое выражение: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\left(\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) - \beta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\beta\right) = \sin(2\beta) = 2\sin\beta\cos\beta = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$.

Ответ: $\frac{24}{25}$.