Номер 1152, страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1152. Найти все корни уравнения $\cos 2x = -\frac{1}{2}$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$.

Данную задачу можно решить в два этапа: сначала найти общее решение тригонометрического уравнения, а затем отобрать те корни, которые принадлежат заданному отрезку.

1. Нахождение общего решения уравнения

Сначала решим уравнение $cos(2x) = -\frac{1}{2}$ в общем виде.

Общее решение для уравнения вида $cos(t) = a$ записывается по формуле $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае аргумент $t = 2x$ и значение $a = -\frac{1}{2}$.

Значение арккосинуса для данного числа: $arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу:
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это равенство представляет собой совокупность двух серий решений:
1) $2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
2) $2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, разделим обе части каждого уравнения на 2:
1) $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$
2) $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$

2. Отбор корней на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$

Теперь необходимо найти все корни, которые принадлежат заданному отрезку. Для этого для каждой из двух серий решений найдем подходящие целые значения $k$ с помощью двойных неравенств.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:
Составим и решим неравенство:
$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} + \pi k \le \frac{5\pi}{2}$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{3} + k \le \frac{5}{2}$
Вычтем $\frac{1}{3}$ из всех частей:
$-\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{2} - \frac{1}{3}$
$-\frac{5}{6} \le k \le \frac{13}{6}$
Учитывая, что $k$ — целое число, подходящие значения $k$ это $0, 1, 2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3}$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$.
При $k=2$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$:
Составим и решим неравенство:
$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} + \pi k \le \frac{5\pi}{2}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{3} + k \le \frac{5}{2}$
Прибавим $\frac{1}{3}$ ко всем частям:
$-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{2} + \frac{1}{3}$
$-\frac{1}{6} \le k \le \frac{17}{6}$
Учитывая, что $k$ — целое число, подходящие значения $k$ это $0, 1, 2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{3}$.
При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$.
При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$.

Объединив все найденные корни из обеих серий и расположив их в порядке возрастания, мы получаем итоговый набор решений на заданном отрезке.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$.