Номер 1147, страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1147. 1) $\cos x = \frac{3}{4}$; 2) $\cos x = -\frac{1}{3}$; 3) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1) Для решения уравнения $cos(x) = \frac{3}{4}$ используется общая формула для уравнений вида $cos(x) = a$:
$x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{3}{4}$. Поскольку $|\frac{3}{4}| \le 1$, уравнение имеет решения.
Значение $\frac{3}{4}$ не является табличным для косинуса, поэтому арккосинус этого числа не упрощается и записывается в явном виде.
Подставляя значение $a$ в формулу, получаем решение.

Ответ: $x = \pm arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Для решения уравнения $cos(x) = -\frac{1}{3}$ также используем общую формулу $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{1}{3}$. Так как $|-\frac{1}{3}| \le 1$, уравнение имеет решения.
Значение $-\frac{1}{3}$ не является табличным, поэтому ответ записывается через функцию арккосинуса.
Можно также использовать свойство $arccos(-z) = \pi - arccos(z)$, тогда решение можно записать в эквивалентной форме: $x = \pm \left(\pi - arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Оба варианта записи верны, но первый является более кратким.

Ответ: $x = \pm arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Для решения уравнения $cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ применяем ту же общую формулу: $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это табличное значение.
Найдем значение $arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Воспользуемся свойством $arccos(-z) = \pi - arccos(z)$.
Мы знаем из таблицы тригонометрических значений, что $arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Теперь подставим найденное значение в общую формулу решения.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.