Номер 1146, страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (1146-1149).

1146.

1) $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

2) $cos x = -\frac{1}{2}$;

3) $cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

1)

Дано уравнение: $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $cos x = a$. Его решение находится по общей формуле: $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В данном случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем арккосинус этого значения. Из таблицы стандартных тригонометрических углов мы знаем, что $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим это значение в общую формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение: $cos x = -\frac{1}{2}$.

Используем ту же общую формулу для решения уравнений вида $cos x = a$: $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{1}{2}$.

Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем свойство $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.

Сначала найдем $arccos(\frac{1}{2})$. Это табличное значение: $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Теперь вычислим $arccos(-\frac{1}{2})$:

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу решения:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано уравнение: $cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Сначала преобразуем правую часть уравнения, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$-\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь уравнение имеет вид: $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решаем его по общей формуле $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем свойство $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.

Находим $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это табличное значение: $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Теперь вычисляем $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$:

$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.