gdz.top
Номер 4, страница 321 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава VIII. Тригонометрические формулы. Проверь себя глава VIII (2) - номер 4, страница 321.
№3
№4 (с. 321)
Условие. №4 (с. 321)
4. Упростить выражение $ \left(2 - \frac{2}{\sin^2(\pi + \alpha)}\right) \left(\frac{1}{\cos^2(\alpha - \pi)} - 1\right) $.
Решение 1. №4 (с. 321)
Решение 3. №4 (с. 321)
Решение 4. №4 (с. 321)
Для упрощения данного выражения последовательно выполним следующие действия: применим формулы приведения для тригонометрических функций, затем упростим каждое из выражений в скобках, используя основное тригонометрическое тождество, и в конце перемножим полученные результаты.
Исходное выражение:
$$ \left(2 - \frac{2}{\sin^2(\pi + \alpha)}\right) \left(\frac{1}{\cos^2(\alpha - \pi)} - 1\right) $$1. Упрощение тригонометрических функций с помощью формул приведения.
Функция синуса: по формуле приведения $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $. При возведении в квадрат знак минус исчезает:
$$ \sin^2(\pi + \alpha) = (-\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha) $$Функция косинуса: косинус является четной функцией, поэтому $ \cos(\alpha - \pi) = \cos(-(\pi - \alpha)) = \cos(\pi - \alpha) $. Далее по формуле приведения $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $. При возведении в квадрат получаем:
$$ \cos^2(\alpha - \pi) = (-\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha) $$2. Подстановка упрощенных выражений.
После подстановки исходное выражение принимает вид:
$$ \left(2 - \frac{2}{\sin^2(\alpha)}\right) \left(\frac{1}{\cos^2(\alpha)} - 1\right) $$3. Упрощение каждой скобки.
Преобразуем выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю:
$$ 2 - \frac{2}{\sin^2(\alpha)} = \frac{2\sin^2(\alpha) - 2}{\sin^2(\alpha)} = \frac{2(\sin^2(\alpha) - 1)}{\sin^2(\alpha)} $$Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $, из которого следует, что $ \sin^2(\alpha) - 1 = -\cos^2(\alpha) $. Тогда первая скобка упрощается до:
$$ \frac{2(-\cos^2(\alpha))}{\sin^2(\alpha)} = -\frac{2\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} $$Теперь преобразуем вторую скобку:
$$ \frac{1}{\cos^2(\alpha)} - 1 = \frac{1 - \cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} $$Из того же тождества $ 1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha) $. Вторая скобка упрощается до:
$$ \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} $$4. Вычисление итогового произведения.
Перемножим упрощенные выражения для каждой из скобок:
$$ \left(-\frac{2\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}\right) $$Сокращаем одинаковые множители $ \sin^2(\alpha) $ и $ \cos^2(\alpha) $ в числителе и знаменателе (они не могут быть равны нулю согласно области определения исходного выражения). В результате получаем:
$$ -2 $$Ответ: $-2$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 321 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 321), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.