Номер 2, страница 321 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Найти значение выражения:

1) $\cos 135^\circ$;

2) $\sin \frac{8\pi}{3}$;

3) $\operatorname{tg} \frac{7\pi}{3}$;

4) $\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8}$.

1) cos 135°

Для нахождения значения косинуса 135 градусов воспользуемся формулой приведения. Угол 135° находится во второй координатной четверти, где значения косинуса отрицательны. Представим угол 135° как разность 180° и 45°.

Формула приведения для косинуса: $cos(180° - \alpha) = -cos \alpha$.

Применяем формулу для нашего случая:

$cos(135°) = cos(180° - 45°) = -cos(45°)$

Значение $cos(45°)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, получаем:

$cos(135°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) sin $\frac{8\pi}{3}$

Для вычисления значения синуса воспользуемся свойством периодичности. Период функции синус равен $2\pi$. Выделим из аргумента $\frac{8\pi}{3}$ целое число периодов.

$\frac{8\pi}{3} = \frac{6\pi + 2\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3}$

Согласно свойству периодичности $sin(x + 2\pi n) = sin x$ (где $n$ — целое число), имеем:

$sin(\frac{8\pi}{3}) = sin(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = sin(\frac{2\pi}{3})$

Теперь используем формулу приведения для $sin(\frac{2\pi}{3})$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ (120°) находится во второй четверти, где синус положителен.

$sin(\frac{2\pi}{3}) = sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3})$

Табличное значение $sin(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) tg $\frac{7\pi}{3}$

Для вычисления значения тангенса воспользуемся его периодичностью. Период функции тангенс равен $\pi$. Выделим из аргумента $\frac{7\pi}{3}$ целое число периодов.

$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$

Согласно свойству периодичности $tg(x + \pi n) = tg x$ (где $n$ — целое число), имеем:

$tg(\frac{7\pi}{3}) = tg(2\pi + \frac{\pi}{3}) = tg(\frac{\pi}{3})$

Табличное значение $tg(\frac{\pi}{3})$ равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

4) cos² $\frac{\pi}{8}$ - sin² $\frac{\pi}{8}$

Данное выражение представляет собой правую часть формулы косинуса двойного угла:

$cos(2\alpha) = cos^2 \alpha - sin^2 \alpha$

В нашем выражении угол $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Применим эту формулу:

$cos^2 \frac{\pi}{8} - sin^2 \frac{\pi}{8} = cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = cos(\frac{2\pi}{8}) = cos(\frac{\pi}{4})$

Значение $cos(\frac{\pi}{4})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$