Номер 8, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

8. Сформулировать правила для запоминания формул приведения.

Формулы приведения служат для преобразования тригонометрических функций углов вида $\frac{n\pi}{2} \pm \alpha$ к функциям угла $\alpha$. Для их запоминания используют простое мнемоническое правило, которое можно разбить на два шага.

Правило 1: Определение знака конечной функции

Знак в правой части формулы определяется по знаку исходной функции. Алгоритм следующий:

1. Принимаем угол $\alpha$ за острый угол первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$).
2. Определяем, в какой координатной четверти находится весь угол, стоящий под знаком исходной функции (например, угол $(\pi - \alpha)$ находится во II четверти, а угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ — в IV).
3. Определяем знак, который имеет исходная функция в этой четверти.
4. Этот знак ставится перед полученной в результате функцией.

Например, для выражения $\cos(\pi + \alpha)$:

Угол $(\pi + \alpha)$ находится в III четверти. Исходная функция — косинус. Косинус в III четверти имеет знак «минус». Следовательно, результат будет со знаком «минус».

Правило 2: Определение названия конечной функции (правило "кивков")

Этот шаг определяет, изменится ли название функции на "кофункцию" ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\tan \leftrightarrow \cot$). Правило связано с положением опорного угла на тригонометрической окружности:

• Если в аргументе функции содержатся углы, лежащие на горизонтальной оси ($\pi$, $2\pi$, $...$, $k\pi$ при целом $k$), то название функции не меняется. Это можно запомнить как кивок головой вдоль горизонтальной оси, означающий "нет".
• Если в аргументе функции содержатся углы, лежащие на вертикальной оси ($\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $...$, $\frac{(2k+1)\pi}{2}$ при целом $k$), то название функции меняется на кофункцию. Это можно запомнить как кивок головой вдоль вертикальной оси, означающий "да".

Применение правил на примерах:

1. Преобразовать $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$

• Определяем знак: Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во II четверти. Исходная функция $\sin$ во II четверти положительна. Значит, у результата будет знак «плюс».
• Определяем функцию: Опорный угол $\frac{\pi}{2}$ лежит на вертикальной оси, поэтому функция $\sin$ меняется на кофункцию $\cos$.
• Итог: $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = +\cos(\alpha)$

2. Преобразовать $\cot(\pi - \alpha)$

• Определяем знак: Угол $(\pi - \alpha)$ находится во II четверти. Исходная функция $\cot$ во II четверти отрицателен. Значит, у результата будет знак «минус».
• Определяем функцию: Опорный угол $\pi$ лежит на горизонтальной оси, поэтому функция $\cot$ не меняется.
• Итог: $\cot(\pi - \alpha) = -\cot(\alpha)$

3. Преобразовать $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$

• Определяем знак: Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в III четверти. Исходная функция $\cos$ в III четверти отрицательна. Значит, у результата будет знак «минус».
• Определяем функцию: Опорный угол $\frac{3\pi}{2}$ лежит на вертикальной оси, поэтому функция $\cos$ меняется на кофункцию $\sin$.
• Итог: $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha)$

Ответ: Мнемоническое правило для формул приведения состоит из двух шагов:
1. Знак результата определяется по знаку исходной функции в той четверти, в которой находится исходный угол (считая $\alpha$ острым).
2. Название функции меняется на кофункцию ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\tan \leftrightarrow \cot$), если опорный угол лежит на вертикальной оси ($\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$), и не меняется, если опорный угол лежит на горизонтальной оси ($\pi, 2\pi$).