Номер 6, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

6. Каковы значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$?

Для нахождения значений тригонометрических функций для заданных углов мы воспользуемся определениями этих функций на единичной окружности и их основными свойствами. Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу ($ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $), а котангенс — как отношение косинуса к синусу ($ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $). Если в знаменателе оказывается ноль, функция считается неопределенной для данного угла.

0

Для угла $0$ радиан (или $0^\circ$) значения тригонометрических функций следующие:

Синус: $ \sin(0) = 0 $.

Косинус: $ \cos(0) = 1 $.

Тангенс: $ \tg(0) = \frac{\sin(0)}{\cos(0)} = \frac{0}{1} = 0 $.

Котангенс: $ \ctg(0) = \frac{\cos(0)}{\sin(0)} = \frac{1}{0} $. Значение не определено, так как происходит деление на ноль.

Ответ: $ \sin(0)=0 $, $ \cos(0)=1 $, $ \tg(0)=0 $, $ \ctg(0) $ не определен.

$ \frac{\pi}{6} $

Для угла $ \frac{\pi}{6} $ радиан (или $30^\circ$):

Синус: $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $.

Косинус: $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Тангенс: $ \tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{6})}{\cos(\frac{\pi}{6})} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Котангенс: $ \ctg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{6})}{\sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} $.

Ответ: $ \sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2} $, $ \cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \tg(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{3} $, $ \ctg(\frac{\pi}{6})=\sqrt{3} $.

$ \frac{\pi}{4} $

Для угла $ \frac{\pi}{4} $ радиан (или $45^\circ$):

Синус: $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Косинус: $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Тангенс: $ \tg(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\cos(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1 $.

Котангенс: $ \ctg(\frac{\pi}{4}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1 $.

Ответ: $ \sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \tg(\frac{\pi}{4})=1 $, $ \ctg(\frac{\pi}{4})=1 $.

$ \frac{\pi}{3} $

Для угла $ \frac{\pi}{3} $ радиан (или $60^\circ$):

Синус: $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Косинус: $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $.

Тангенс: $ \tg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{\cos(\frac{\pi}{3})} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} $.

Котангенс: $ \ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{3})}{\sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ \sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2} $, $ \tg(\frac{\pi}{3})=\sqrt{3} $, $ \ctg(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{3} $.

$ \frac{\pi}{2} $

Для угла $ \frac{\pi}{2} $ радиан (или $90^\circ$):

Синус: $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $.

Косинус: $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $.

Тангенс: $ \tg(\frac{\pi}{2}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2})} = \frac{1}{0} $. Значение не определено.

Котангенс: $ \ctg(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0 $.

Ответ: $ \sin(\frac{\pi}{2})=1 $, $ \cos(\frac{\pi}{2})=0 $, $ \tg(\frac{\pi}{2}) $ не определен, $ \ctg(\frac{\pi}{2})=0 $.

$ \pi $

Для угла $ \pi $ радиан (или $180^\circ$):

Синус: $ \sin(\pi) = 0 $.

Косинус: $ \cos(\pi) = -1 $.

Тангенс: $ \tg(\pi) = \frac{\sin(\pi)}{\cos(\pi)} = \frac{0}{-1} = 0 $.

Котангенс: $ \ctg(\pi) = \frac{\cos(\pi)}{\sin(\pi)} = \frac{-1}{0} $. Значение не определено.

Ответ: $ \sin(\pi)=0 $, $ \cos(\pi)=-1 $, $ \tg(\pi)=0 $, $ \ctg(\pi) $ не определен.

$ \frac{3\pi}{2} $

Для угла $ \frac{3\pi}{2} $ радиан (или $270^\circ$):

Синус: $ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $.

Косинус: $ \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 $.

Тангенс: $ \tg(\frac{3\pi}{2}) = \frac{\sin(\frac{3\pi}{2})}{\cos(\frac{3\pi}{2})} = \frac{-1}{0} $. Значение не определено.

Котангенс: $ \ctg(\frac{3\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{3\pi}{2})}{\sin(\frac{3\pi}{2})} = \frac{0}{-1} = 0 $.

Ответ: $ \sin(\frac{3\pi}{2})=-1 $, $ \cos(\frac{3\pi}{2})=0 $, $ \tg(\frac{3\pi}{2}) $ не определен, $ \ctg(\frac{3\pi}{2})=0 $.