Номер 1141, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1141. Немецкий астроном и математик Региомонтан доказал так называемую теорему тангенсов, связывающую длины двух любых сторон треугольника (например, a и b) и величины углов, лежащих против этих сторон ($\alpha$ и $\beta$ соответствен-но):

$\frac{a - b}{a + b} = \frac{\operatorname{tg}\frac{\alpha - \beta}{2}}{\operatorname{tg}\frac{\alpha + \beta}{2}}$

Доказать справедливость этой формулы (используя теорему синусов).

Для доказательства справедливости теоремы тангенсов воспользуемся теоремой синусов, как указано в условии задачи. Теорема синусов для произвольного треугольника со сторонами $a$, $b$ и противолежащими им углами $\alpha$, $\beta$ имеет вид:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = 2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Из этого соотношения можно выразить стороны $a$ и $b$ через синусы углов:

$a = 2R\sin\alpha$

$b = 2R\sin\beta$

Подставим эти выражения в левую часть доказываемой формулы $\frac{a-b}{a+b}$:

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{2R\sin\alpha - 2R\sin\beta}{2R\sin\alpha + 2R\sin\beta}$

Сократив общий множитель $2R$ в числителе и знаменателе, получим:

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\sin\alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}$

Далее используем тригонометрические формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Подставим эти формулы в полученное нами выражение:

$\frac{\sin\alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta} = \frac{2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}$

Сокращаем на 2 и перегруппировываем множители в дроби:

$\frac{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}$

Используя определение тангенса ($\tg{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$) и котангенса ($\cot{x} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}}$), получаем:

$\tg\frac{\alpha-\beta}{2} \cdot \cot\frac{\alpha+\beta}{2}$

Поскольку $\cot{x} = \frac{1}{\tg{x}}$, мы можем переписать выражение следующим образом:

$\frac{\tg\frac{\alpha-\beta}{2}}{\tg\frac{\alpha+\beta}{2}}$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходной формулы равна ее правой части:

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tg\frac{\alpha - \beta}{2}}{\tg\frac{\alpha + \beta}{2}}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Справедливость формулы доказана путем ее вывода из теоремы синусов и использования тригонометрических тождеств.