Номер 1142, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1142. В книге «Железнодорожный путь» (автор Г. М. Шахунянц) приводится следующая задача: «Железнодорожная колея делает петлю для разворота локомотивов. Линия $ABCDE$ (рис. 125) изображает ось половины этой петли, где $AB$ и $CDE$ — дуги окружностей радиуса $R$, $BC$ — прямолинейная вставка. Найти длину $l$ оси всей петли, если $R = 200$ м, $CB = 4$ м, $OA_1 = 2$ м (половина расстояния между соседними колеями)».

Для решения задачи необходимо найти длину половины оси петли, которая состоит из трёх участков: дуги AB, прямолинейной вставки BC и дуги CDE, а затем удвоить полученное значение. Полная длина оси петли $l$ вычисляется по формуле:

$l = 2 \cdot (L_{AB} + L_{BC} + L_{CDE})$

где $L_{AB}$ — длина дуги AB, $L_{BC}$ — длина отрезка BC, $L_{CDE}$ — длина дуги CDE.

Из условия задачи нам известно:

• Радиус дуг AB и CDE: $R = 200$ м.
• Длина прямолинейной вставки: $L_{BC} = CB = 4$ м.
• Параметр $OA_1 = 2$ м.

Конструкция петли для разворота симметрична относительно оси, проходящей через точку E. Участок ABCDE — это половина всей петли. Дуга AB является переходной кривой, которая плавно соединяет прямой путь с криволинейным участком BC. Дуга CDE является частью основной кривой петли.

В задачах по проектированию железнодорожных путей параметр, обозначенный как $OA_1$, часто интерпретируется как величина смещения (стрела прогиба) переходной кривой. Это вертикальное смещение, которое обеспечивает переходная дуга AB.

Пусть $\alpha$ — центральный угол дуги AB. Тогда её длина $L_{AB} = R \cdot \alpha$. Вертикальное смещение, создаваемое этой дугой, вычисляется по формуле:

$h = R(1 - \cos\alpha)$

Примем, что $OA_1$ и есть это смещение, то есть $h = OA_1 = 2$ м.

$2 = 200 \cdot (1 - \cos\alpha)$

Выразим из этого уравнения $\cos\alpha$:

$1 - \cos\alpha = \frac{2}{200} = 0.01$

$\cos\alpha = 1 - 0.01 = 0.99$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arccos(0.99)$

Из-за симметрии петли, дуга CDE, которая обеспечивает переход от прямолинейной вставки BC к вершине петли E (где касательная горизонтальна), также имеет центральный угол $\alpha$. Таким образом, длина дуги CDE также равна $L_{CDE} = R \cdot \alpha$.

Теперь мы можем вычислить общую длину оси петли $l$:

$l = 2 \cdot (L_{AB} + L_{BC} + L_{CDE}) = 2 \cdot (R\alpha + L_{BC} + R\alpha) = 2 \cdot (2R\alpha + L_{BC}) = 4R\alpha + 2L_{BC}$

Подставим известные значения:

$l = 4 \cdot 200 \cdot \arccos(0.99) + 2 \cdot 4 = 800 \cdot \arccos(0.99) + 8$

Для вычисления значения $\arccos(0.99)$ можно воспользоваться калькулятором. Значение угла в радианах: $\alpha \approx 0.1415$ рад.

$l \approx 800 \cdot 0.1415 + 8 = 113.2 + 8 = 121.2$ м.

Таким образом, полная длина оси петли составляет приблизительно 121,2 метра.

Ответ: Длина оси всей петли $l = 800 \cdot \arccos(0.99) + 8 \approx 121.2$ м.