Номер 1135, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Доказать тождество (1135—1136).

1135.

1) $ \sin^2(\alpha + \beta) = \sin^2\alpha + \sin^2\beta + 2\sin\alpha \sin\beta \cos(\alpha + \beta); $

2) $ \sin\alpha + 2\sin3\alpha + \sin5\alpha = 4\sin3\alpha \cos^2\alpha. $

1) Докажем тождество $sin^2(\alpha + \beta) = sin^2\alpha + sin^2\beta + 2sin\alpha sin\beta cos(\alpha + \beta)$.

Для доказательства преобразуем правую часть равенства (ПЧ). Начнем с применения формулы косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$.

ПЧ $= sin^2\alpha + sin^2\beta + 2sin\alpha sin\beta (cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta)$

Раскроем скобки:

ПЧ $= sin^2\alpha + sin^2\beta + 2sin\alpha cos\alpha sin\beta cos\beta - 2sin^2\alpha sin^2\beta$

Перегруппируем слагаемые, чтобы использовать основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$, из которого следует, что $1 - sin^2x = cos^2x$.

ПЧ $= (sin^2\alpha - sin^2\alpha sin^2\beta) + (sin^2\beta - sin^2\alpha sin^2\beta) + 2sin\alpha cos\alpha sin\beta cos\beta$

Вынесем общие множители:

ПЧ $= sin^2\alpha(1 - sin^2\beta) + sin^2\beta(1 - sin^2\alpha) + 2sin\alpha cos\alpha sin\beta cos\beta$

Применим тождество $1 - sin^2x = cos^2x$:

ПЧ $= sin^2\alpha cos^2\beta + sin^2\beta cos^2\alpha + 2sin\alpha cos\alpha sin\beta cos\beta$

Полученное выражение является полным квадратом суммы. Его можно записать в виде:

ПЧ $= (sin\alpha cos\beta)^2 + (cos\alpha sin\beta)^2 + 2(sin\alpha cos\beta)(cos\alpha sin\beta)$

ПЧ $= (sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta)^2$

Выражение в скобках является формулой синуса суммы: $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$.

ПЧ $= (sin(\alpha + \beta))^2 = sin^2(\alpha + \beta)$

Таким образом, правая часть тождества равна левой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $sin\alpha + 2sin3\alpha + sin5\alpha = 4sin3\alpha cos^2\alpha$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства (ЛЧ). Сгруппируем первое и третье слагаемые:

ЛЧ $= (sin5\alpha + sin\alpha) + 2sin3\alpha$

К выражению в скобках применим формулу суммы синусов: $sin x + sin y = 2sin(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})$.

Для $x=5\alpha$ и $y=\alpha$ получаем:

$sin5\alpha + sin\alpha = 2sin(\frac{5\alpha+\alpha}{2})cos(\frac{5\alpha-\alpha}{2}) = 2sin(3\alpha)cos(2\alpha)$

Подставим полученное выражение обратно в левую часть:

ЛЧ $= 2sin(3\alpha)cos(2\alpha) + 2sin3\alpha$

Вынесем общий множитель $2sin3\alpha$ за скобки:

ЛЧ $= 2sin3\alpha(cos(2\alpha) + 1)$

Теперь воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = 2cos^2\alpha - 1$. Из нее следует, что $cos(2\alpha) + 1 = 2cos^2\alpha$.

Подставим это в наше выражение:

ЛЧ $= 2sin3\alpha(2cos^2\alpha)$

ЛЧ $= 4sin3\alpha cos^2\alpha$

Таким образом, левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.