Номер 1133, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1133. Вычислить значение выражения $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha}$, если $\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{2}$.

Сначала упростим данное выражение, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha \cdot \sin \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для числителя:

$ \sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) $

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Тогда выражение для числителя примет вид:

$ (\sin \alpha - \cos \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha) $

Таким образом, исходное выражение можно переписать как:

$ \frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} $

Теперь нам нужно найти значение произведения $\sin \alpha \cos \alpha$, используя данное в условии равенство $\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{2}$. Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 $

$ \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{4} $

Сгруппируем слагаемые и снова используем основное тригонометрическое тождество:

$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} $

$ 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} $

Отсюда выразим $2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$ 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $

И найдем искомое произведение:

$ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{8} $

Теперь у нас есть все необходимые значения для подстановки в упрощенное выражение: $\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{2}$ (из условия) и $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{8}$ (найденное значение).

Подставляем значения и вычисляем:

$ \frac{\frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{3}{8}\right)}{\frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{8}{8} + \frac{3}{8}\right)}{\frac{3}{8}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8}}{\frac{3}{8}} = \frac{\frac{11}{16}}{\frac{3}{8}} = \frac{11}{16} \cdot \frac{8}{3} = \frac{11 \cdot 8}{16 \cdot 3} = \frac{11}{2 \cdot 3} = \frac{11}{6} $

Ответ: $ \frac{11}{6} $