Номер 1127, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1127. Доказать тождество:

1) $\frac{2\sin2\alpha - \sin4\alpha}{2\sin2\alpha + \sin4\alpha} = \text{tg}^2\alpha;$

2) $\frac{2\cos2\alpha - \sin4\alpha}{2\cos2\alpha + \sin4\alpha} = \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right).$

1) Докажем тождество: $\frac{2\sin2\alpha - \sin4\alpha}{2\sin2\alpha + \sin4\alpha} = \text{tg}^2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого используем формулу синуса двойного угла для $\sin4\alpha$: $\sin4\alpha = 2\sin2\alpha\cos2\alpha$.

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{2\sin2\alpha - 2\sin2\alpha\cos2\alpha}{2\sin2\alpha + 2\sin2\alpha\cos2\alpha}$

Вынесем общий множитель $2\sin2\alpha$ в числителе и в знаменателе:

$\frac{2\sin2\alpha(1 - \cos2\alpha)}{2\sin2\alpha(1 + \cos2\alpha)}$

Сократим дробь на $2\sin2\alpha$ (при условии, что $\sin2\alpha \neq 0$, иначе выражение не определено):

$\frac{1 - \cos2\alpha}{1 + \cos2\alpha}$

Теперь воспользуемся формулами понижения степени, которые являются следствиями из формулы косинуса двойного угла:

$1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$

$1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$

Подставим эти выражения в нашу дробь:

$\frac{2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

По определению тангенса, $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, поэтому $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = (\text{tg}\alpha)^2 = \text{tg}^2\alpha$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{2\sin2\alpha - \sin4\alpha}{2\sin2\alpha + \sin4\alpha} = \text{tg}^2\alpha$ доказано.

2) Докажем тождество: $\frac{2\cos2\alpha - \sin4\alpha}{2\cos2\alpha + \sin4\alpha} = \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.

Преобразуем левую часть равенства. Используем формулу синуса двойного угла $\sin4\alpha = 2\sin2\alpha\cos2\alpha$.

$\frac{2\cos2\alpha - 2\sin2\alpha\cos2\alpha}{2\cos2\alpha + 2\sin2\alpha\cos2\alpha}$

Вынесем общий множитель $2\cos2\alpha$ за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cos2\alpha(1 - \sin2\alpha)}{2\cos2\alpha(1 + \sin2\alpha)}$

Сократим дробь на $2\cos2\alpha$ (при условии, что $\cos2\alpha \neq 0$):

$\frac{1 - \sin2\alpha}{1 + \sin2\alpha}$

Используем формулу приведения $\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. Тогда $\sin2\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)}{1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)}$

Теперь применим формулы понижения степени: $1 - \cos(2y) = 2\sin^2(y)$ и $1 + \cos(2y) = 2\cos^2(y)$. В нашем случае аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} - 2\alpha$. Если положить $2y = \frac{\pi}{2} - 2\alpha$, то $y = \frac{\pi}{4} - \alpha$.

Применяя формулы, получаем:

$\frac{2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}$

Сокращаем на 2 и используем определение тангенса $\text{tg}y = \frac{\sin y}{\cos y}$:

$\frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)} = \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{2\cos2\alpha - \sin4\alpha}{2\cos2\alpha + \sin4\alpha} = \text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$ доказано.