Номер 1126, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1126. 1) $\frac{\sqrt{3}(\cos75^\circ - \cos15^\circ)}{1-2\sin^215^\circ}$

2) $\frac{2\cos^2\frac{\pi}{8}-1}{1+8\sin^2\frac{\pi}{8}\cos^2\frac{\pi}{8}}$

1) Для решения выражения $\frac{\sqrt{3}(\cos{75^\circ} - \cos{15^\circ})}{1 - 2\sin^2{15^\circ}}$ воспользуемся тригонометрическими формулами, упростив числитель и знаменатель по отдельности.

Сначала преобразуем числитель $\sqrt{3}(\cos{75^\circ} - \cos{15^\circ})$. Применим формулу разности косинусов $\cos{\alpha} - \cos{\beta} = -2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}$.

Подставив $\alpha = 75^\circ$ и $\beta = 15^\circ$, получаем:

$\cos{75^\circ} - \cos{15^\circ} = -2\sin{\frac{75^\circ+15^\circ}{2}}\sin{\frac{75^\circ-15^\circ}{2}} = -2\sin{\frac{90^\circ}{2}}\sin{\frac{60^\circ}{2}} = -2\sin{45^\circ}\sin{30^\circ}$.

Зная, что $\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}$, находим значение разности:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, весь числитель равен $\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Теперь преобразуем знаменатель $1 - 2\sin^2{15^\circ}$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha}$.

При $\alpha = 15^\circ$ получаем:

$1 - 2\sin^2{15^\circ} = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Наконец, подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{-\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{\frac{6}{3}} = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}$

2) Для решения выражения $\frac{2\cos^2{\frac{\pi}{8}} - 1}{1 + 8\sin^2{\frac{\pi}{8}}\cos^2{\frac{\pi}{8}}}$ также воспользуемся тригонометрическими формулами для числителя и знаменателя.

Сначала преобразуем числитель $2\cos^2{\frac{\pi}{8}} - 1$. Это одна из форм формулы косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1$.

При $\alpha = \frac{\pi}{8}$ получаем:

$2\cos^2{\frac{\pi}{8}} - 1 = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь преобразуем знаменатель $1 + 8\sin^2{\frac{\pi}{8}}\cos^2{\frac{\pi}{8}}$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$.

Выражение $8\sin^2{\frac{\pi}{8}}\cos^2{\frac{\pi}{8}}$ можно переписать как $2 \cdot (4\sin^2{\frac{\pi}{8}}\cos^2{\frac{\pi}{8}}) = 2 \cdot (2\sin{\frac{\pi}{8}}\cos{\frac{\pi}{8}})^2$.

Применив формулу синуса двойного угла для выражения в скобках с $\alpha = \frac{\pi}{8}$, получаем:

$2 \cdot (\sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}))^2 = 2 \cdot (\sin(\frac{\pi}{4}))^2$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, находим значение выражения:

$2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1$.

Таким образом, знаменатель равен $1 + 1 = 2$.

Теперь подставим найденные значения числителя и знаменателя в исходную дробь:

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$