Номер 1119, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1119. Упростить выражение:

1) $2\sin(\pi - \alpha)\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + 3\sin^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - 2;$

2) $\frac{\sin(\pi + \alpha)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\text{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)\text{tg}(\pi + \alpha)}.$

1) Для упрощения выражения $2\sin(\pi - \alpha)\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) + 3\sin^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) - 2$ воспользуемся формулами приведения.

Применим формулы приведения для каждого члена:

$\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$ (угол во II четверти, синус положителен).

$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)$ (угол в I четверти, косинус положителен, функция меняется на кофункцию).

$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha)$ (угол в I четверти, синус положителен, функция меняется на кофункцию).

Подставим эти значения в исходное выражение:

$2\sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha) + 3(\cos(\alpha))^2 - 2 = 2\sin^2(\alpha) + 3\cos^2(\alpha) - 2$.

Теперь упростим полученное выражение. Представим $3\cos^2(\alpha)$ как $2\cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)$:

$2\sin^2(\alpha) + 2\cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) - 2$.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)) + \cos^2(\alpha) - 2$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем:

$2 \cdot 1 + \cos^2(\alpha) - 2 = 2 + \cos^2(\alpha) - 2 = \cos^2(\alpha)$.

Ответ: $\cos^2(\alpha)$.

2) Упростим выражение $\frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)\operatorname{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)\operatorname{tg}(\pi + \alpha)}$.

Применим формулы приведения для каждого тригонометрического множителя.

Для числителя:

$\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$ (угол в III четверти, синус отрицательный).

$\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha)$ (угол в III четверти, косинус отрицательный, функция меняется на кофункцию).

$\operatorname{tg}(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \operatorname{tg}(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$ (тангенс - нечетная функция, далее формула приведения).

Для знаменателя:

$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$ (угол во II четверти, косинус отрицательный, функция меняется на кофункцию).

$\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$ (угол в IV четверти, косинус положительный, функция меняется на кофункцию).

$\operatorname{tg}(\pi + \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha)$ (угол в III четверти, тангенс положительный).

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha)) \cdot (-\operatorname{ctg}(\alpha))}{(-\sin(\alpha)) \cdot (\sin(\alpha)) \cdot (\operatorname{tg}(\alpha))} = \frac{-\sin^2(\alpha)\operatorname{ctg}(\alpha)}{-\sin^2(\alpha)\operatorname{tg}(\alpha)}$.

Сократим дробь на $-\sin^2(\alpha)$ (при условии, что $\sin(\alpha) \neq 0$):

$\frac{\operatorname{ctg}(\alpha)}{\operatorname{tg}(\alpha)}$.

Зная, что $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{1}{\operatorname{ctg}(\alpha)}$, заменим тангенс в знаменателе:

$\frac{\operatorname{ctg}(\alpha)}{\frac{1}{\operatorname{ctg}(\alpha)}} = \operatorname{ctg}(\alpha) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha) = \operatorname{ctg}^2(\alpha)$.

Ответ: $\operatorname{ctg}^2(\alpha)$.