Номер 1112, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1112. Доказать тождество:

1) $2\sin \alpha \sin 2\alpha + \cos 3\alpha = \cos \alpha;$

2) $2\sin 3\alpha \cos 4\alpha + \sin \alpha = \sin 7\alpha;$

3) $4\cos \frac{\alpha}{2} \cos \alpha \sin \frac{3\alpha}{2} = \sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha;$

4) $4\cos 2\alpha \cos \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6}\right) \cos \left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha.$

1) Доказать тождество $2\sin\alpha \sin2\alpha + \cos3\alpha = \cos\alpha$

Для доказательства преобразуем левую часть тождества. Воспользуемся формулой произведения синусов:

$2\sin x \sin y = \cos(x-y) - \cos(x+y)$

Применим эту формулу к выражению $2\sin\alpha \sin2\alpha$. Пусть $x = 2\alpha$ и $y = \alpha$.

$2\sin2\alpha \sin\alpha = \cos(2\alpha - \alpha) - \cos(2\alpha + \alpha) = \cos\alpha - \cos3\alpha$

Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$2\sin\alpha \sin2\alpha + \cos3\alpha = (\cos\alpha - \cos3\alpha) + \cos3\alpha$

Упрощаем выражение:

$\cos\alpha - \cos3\alpha + \cos3\alpha = \cos\alpha$

В результате преобразований левая часть стала равна правой части: $\cos\alpha = \cos\alpha$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Доказать тождество $2\sin3\alpha \cos4\alpha + \sin\alpha = \sin7\alpha$

Преобразуем левую часть тождества, используя формулу произведения синуса на косинус:

$2\sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)$

Применим эту формулу к выражению $2\sin3\alpha \cos4\alpha$. Пусть $x = 3\alpha$ и $y = 4\alpha$.

$2\sin3\alpha \cos4\alpha = \sin(3\alpha + 4\alpha) + \sin(3\alpha - 4\alpha) = \sin(7\alpha) + \sin(-\alpha)$

Так как синус — нечетная функция, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$. Следовательно:

$\sin(7\alpha) + \sin(-\alpha) = \sin7\alpha - \sin\alpha$

Подставим результат в левую часть исходного тождества:

$2\sin3\alpha \cos4\alpha + \sin\alpha = (\sin7\alpha - \sin\alpha) + \sin\alpha$

Упрощаем:

$\sin7\alpha - \sin\alpha + \sin\alpha = \sin7\alpha$

Левая часть равна правой: $\sin7\alpha = \sin7\alpha$.

Ответ: Тождество доказано.

3) Доказать тождество $4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\alpha\sin\frac{3\alpha}{2} = \sin\alpha + \sin2\alpha + \sin3\alpha$

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем множители:

$4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\alpha\sin\frac{3\alpha}{2} = 2\cos\frac{\alpha}{2} \cdot (2\cos\alpha\sin\frac{3\alpha}{2})$

Применим формулу произведения синуса на косинус $2\sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)$ к выражению в скобках. Пусть $x = \frac{3\alpha}{2}$ и $y = \alpha$.

$2\sin\frac{3\alpha}{2}\cos\alpha = \sin(\frac{3\alpha}{2}+\alpha) + \sin(\frac{3\alpha}{2}-\alpha) = \sin\frac{5\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}$

Подставим это обратно в выражение для левой части:

$2\cos\frac{\alpha}{2} \left( \sin\frac{5\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2} \right) = 2\sin\frac{5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Теперь преобразуем каждое слагаемое.

Первое слагаемое: $2\sin\frac{5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$. Используем ту же формулу, где $x = \frac{5\alpha}{2}$ и $y = \frac{\alpha}{2}$.

$2\sin\frac{5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \sin(\frac{5\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}) + \sin(\frac{5\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}) = \sin\frac{6\alpha}{2} + \sin\frac{4\alpha}{2} = \sin3\alpha + \sin2\alpha$

Второе слагаемое: $2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$. Это формула синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.

$2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \sin(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = \sin\alpha$

Соберем все вместе:

$(\sin3\alpha + \sin2\alpha) + \sin\alpha = \sin\alpha + \sin2\alpha + \sin3\alpha$

Левая часть равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

4) Доказать тождество $4\cos2\alpha\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\alpha + \cos2\alpha + \cos3\alpha$

Преобразуем левую часть. Сгруппируем множители:

$4\cos2\alpha\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right) = 2\cos2\alpha \cdot \left[2\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\right]$

К выражению в квадратных скобках применим формулу произведения косинусов:

$2\cos x \cos y = \cos(x+y) + \cos(x-y)$

Пусть $x = \frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}$ и $y = \frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}$.

$x+y = (\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}) + (\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}) = \alpha$

$x-y = (\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}) - (\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

Тогда выражение в скобках равно:

$\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{3} = \cos\alpha + \frac{1}{2}$

Подставим это в исходное выражение для левой части:

$2\cos2\alpha \left(\cos\alpha + \frac{1}{2}\right) = 2\cos2\alpha\cos\alpha + 2\cos2\alpha \cdot \frac{1}{2} = 2\cos2\alpha\cos\alpha + \cos2\alpha$

Теперь преобразуем слагаемое $2\cos2\alpha\cos\alpha$ по той же формуле произведения косинусов. Пусть $x = 2\alpha$ и $y = \alpha$.

$2\cos2\alpha\cos\alpha = \cos(2\alpha+\alpha) + \cos(2\alpha-\alpha) = \cos3\alpha + \cos\alpha$

Подставляем обратно и получаем:

$(\cos3\alpha + \cos\alpha) + \cos2\alpha = \cos\alpha + \cos2\alpha + \cos3\alpha$

Левая часть равна правой.

Ответ: Тождество доказано.