Номер 1111, страница 316 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1111. Упростить:

1) $\sin\alpha(1 + 2\cos 2\alpha);$

2) $2\cos\alpha \cos 2\alpha - \cos 3\alpha;$;

3) $\cos 2\alpha + 2\sin \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\sin \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right);$

4) $\cos^2 3 + \cos^2 1 - \cos 4 \cos 2.$

1) $ \sin\alpha(1 + 2\cos2\alpha) $

Сначала раскроем скобки в выражении:

$ \sin\alpha(1 + 2\cos2\alpha) = \sin\alpha + 2\sin\alpha\cos2\alpha $

Теперь воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $, чтобы выразить всё через $ \sin\alpha $:

$ \sin\alpha(1 + 2(1 - 2\sin^2\alpha)) = \sin\alpha(1 + 2 - 4\sin^2\alpha) = \sin\alpha(3 - 4\sin^2\alpha) $

Раскроем скобки еще раз:

$ 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha $

Мы получили выражение, которое является формулой синуса тройного угла:

$ 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha = \sin(3\alpha) $

Ответ: $ \sin(3\alpha) $

2) $ 2\cos\alpha \cos2\alpha - \cos3\alpha $

Применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму $ 2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) $ для первого члена выражения. Пусть $ A=2\alpha $ и $ B=\alpha $:

$ 2\cos2\alpha \cos\alpha = \cos(2\alpha + \alpha) + \cos(2\alpha - \alpha) = \cos(3\alpha) + \cos\alpha $

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$ (\cos(3\alpha) + \cos\alpha) - \cos3\alpha $

Упростим, сократив $ \cos(3\alpha) $:

$ \cos3\alpha + \cos\alpha - \cos3\alpha = \cos\alpha $

Ответ: $ \cos\alpha $

3) $ \cos2\alpha + 2\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) $

Для второго слагаемого применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов $ 2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B) $.

В нашем случае $ A = \alpha + \frac{\pi}{6} $ и $ B = \alpha - \frac{\pi}{6} $. Найдем $ A-B $ и $ A+B $:

$ A - B = \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) - \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = \alpha + \frac{\pi}{6} - \alpha + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $

$ A + B = \left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right) + \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = 2\alpha $

Таким образом, $ 2\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos(2\alpha) $.

Подставим это в исходное выражение:

$ \cos2\alpha + \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos(2\alpha)\right) $

Упрощаем, сокращая $ \cos2\alpha $ и $ -\cos2\alpha $:

$ \cos2\alpha + \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos2\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $

Мы знаем, что значение $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $ равно $ \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

4) $ \cos^2 3 + \cos^2 1 - \cos 4 \cos 2 $

Для первых двух слагаемых применим формулу понижения степени $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $:

$ \cos^2 3 = \frac{1 + \cos(2 \cdot 3)}{2} = \frac{1 + \cos 6}{2} $

$ \cos^2 1 = \frac{1 + \cos(2 \cdot 1)}{2} = \frac{1 + \cos 2}{2} $

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ \frac{1 + \cos 6}{2} + \frac{1 + \cos 2}{2} - \cos 4 \cos 2 $

Приведем дроби к общему знаменателю и сложим:

$ \frac{1 + \cos 6 + 1 + \cos 2}{2} - \cos 4 \cos 2 = \frac{2 + \cos 6 + \cos 2}{2} - \cos 4 \cos 2 $

$ = 1 + \frac{\cos 6 + \cos 2}{2} - \cos 4 \cos 2 $

Теперь к выражению $ \cos 6 + \cos 2 $ применим формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $:

$ \cos 6 + \cos 2 = 2\cos\frac{6+2}{2}\cos\frac{6-2}{2} = 2\cos 4 \cos 2 $

Подставим полученный результат обратно в выражение:

$ 1 + \frac{2\cos 4 \cos 2}{2} - \cos 4 \cos 2 $

Сократим дробь и выполним вычитание:

$ 1 + \cos 4 \cos 2 - \cos 4 \cos 2 = 1 $

Ответ: $ 1 $