Номер 1105, страница 315 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1105. Доказать тождество:

1) $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha + \sin7\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha + \cos7\alpha} = \text{tg}4\alpha;$

2) $\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma - \sin(\alpha + \beta + \gamma) = 4\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\beta + \gamma}{2}\sin\frac{\gamma + \alpha}{2}.$

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе дроби и применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:

$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

Группируем первое слагаемое с четвертым и второе с третьим:

$\frac{(\sin\alpha + \sin7\alpha) + (\sin3\alpha + \sin5\alpha)}{(\cos\alpha + \cos7\alpha) + (\cos3\alpha + \cos5\alpha)} = $

Применяем формулы к каждой паре слагаемых:

Для числителя:

$\sin\alpha + \sin7\alpha = 2\sin\frac{\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2\sin4\alpha\cos3\alpha$

$\sin3\alpha + \sin5\alpha = 2\sin\frac{3\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\sin4\alpha\cos\alpha$

Для знаменателя:

$\cos\alpha + \cos7\alpha = 2\cos\frac{\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2\cos4\alpha\cos3\alpha$

$\cos3\alpha + \cos5\alpha = 2\cos\frac{3\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\cos4\alpha\cos\alpha$

Подставляем полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{2\sin4\alpha\cos3\alpha + 2\sin4\alpha\cos\alpha}{2\cos4\alpha\cos3\alpha + 2\cos4\alpha\cos\alpha} = $

Выносим общие множители за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{2\sin4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)}{2\cos4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)} = $

Сокращаем дробь на общий множитель $2(\cos3\alpha + \cos\alpha)$, при условии, что он не равен нулю:

$\frac{\sin4\alpha}{\cos4\alpha} = \text{tg}4\alpha$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha + \sin7\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha + \cos7\alpha} = \text{tg}4\alpha$ доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые и применим формулы суммы и разности синусов:

$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

$\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым:

$(\sin\alpha + \sin\beta) + (\sin\gamma - \sin(\alpha + \beta + \gamma)) = $

Применяем формулы к каждой паре слагаемых:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin\gamma - \sin(\alpha + \beta + \gamma) = 2\cos\frac{\gamma + \alpha + \beta + \gamma}{2}\sin\frac{\gamma - (\alpha + \beta + \gamma)}{2} = 2\cos\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}\sin\frac{-\alpha - \beta}{2}$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$-2\cos\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}\sin\frac{\alpha + \beta}{2}$

Подставляем полученные выражения в исходное:

$2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} = $

Выносим общий множитель $2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}$ за скобки:

$2\sin\frac{\alpha + \beta}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} \right) = $

К выражению в скобках применим формулу разности косинусов:

$\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$

$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} = -2\sin\frac{\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}}{2}\sin\frac{\frac{\alpha-\beta}{2} - \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}}{2} = $

$-2\sin\frac{\frac{2\alpha+2\gamma}{2}}{2}\sin\frac{\frac{-2\beta-2\gamma}{2}}{2} = -2\sin\frac{\alpha+\gamma}{2}\sin\frac{-(\beta+\gamma)}{2} = $

Используя свойство нечетности синуса, получаем:

$-2\sin\frac{\alpha+\gamma}{2} \left( -\sin\frac{\beta+\gamma}{2} \right) = 2\sin\frac{\alpha+\gamma}{2}\sin\frac{\beta+\gamma}{2}$

Подставляем это выражение обратно:

$2\sin\frac{\alpha + \beta}{2} \left( 2\sin\frac{\alpha+\gamma}{2}\sin\frac{\beta+\gamma}{2} \right) = 4\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\beta + \gamma}{2}\sin\frac{\gamma + \alpha}{2}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma - \sin(\alpha + \beta + \gamma) = 4\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\beta + \gamma}{2}\sin\frac{\gamma + \alpha}{2}$ доказано.