Страница 315 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1103. Преобразовать в произведение:

1) $\sin \alpha + \operatorname{tg} \alpha;$

2) $\cos 2\alpha + \operatorname{ctg} 2\alpha;$

3) $\sin \pi\alpha - \operatorname{tg} \pi\alpha;$

4) $\operatorname{ctg}(2\alpha + 30^\circ) - \cos(2\alpha + 30^\circ).$

1) $sin α + tg α$

Представим тангенс как отношение синуса к косинусу:

$sin α + \frac{sin α}{cos α}$

Вынесем $sin α$ за скобки:

$sin α (1 + \frac{1}{cos α})$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$sin α (\frac{cos α + 1}{cos α})$

Перегруппируем множители:

$\frac{sin α}{cos α} (1 + cos α) = tg α (1 + cos α)$

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + cos α = 2 cos^2(\frac{α}{2})$:

$tg α \cdot 2 cos^2(\frac{α}{2})$

Ответ: $2 tg α cos^2(\frac{α}{2})$

2) $cos 2α + ctg 2α$

Представим котангенс как отношение косинуса к синусу:

$cos 2α + \frac{cos 2α}{sin 2α}$

Вынесем $cos 2α$ за скобки:

$cos 2α (1 + \frac{1}{sin 2α})$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$cos 2α (\frac{sin 2α + 1}{sin 2α})$

Перегруппируем множители:

$\frac{cos 2α}{sin 2α} (1 + sin 2α) = ctg 2α (1 + sin 2α)$

Чтобы преобразовать выражение $1 + sin 2α$, используем формулу приведения $sin x = cos(\frac{\pi}{2} - x)$:

$1 + sin 2α = 1 + cos(\frac{\pi}{2} - 2α)$

Далее применим формулу $1 + cos y = 2 cos^2(\frac{y}{2})$:

$1 + cos(\frac{\pi}{2} - 2α) = 2 cos^2(\frac{\frac{\pi}{2} - 2α}{2}) = 2 cos^2(\frac{\pi}{4} - α)$

Подставим полученное выражение обратно:

$ctg 2α \cdot 2 cos^2(\frac{\pi}{4} - α)$

Ответ: $2 ctg 2α cos^2(\frac{\pi}{4} - α)$

3) $sin πα - tg πα$

Представим тангенс как отношение синуса к косинусу:

$sin πα - \frac{sin πα}{cos πα}$

Вынесем $sin πα$ за скобки:

$sin πα (1 - \frac{1}{cos πα})$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$sin πα (\frac{cos πα - 1}{cos πα})$

Перегруппируем множители:

$\frac{sin πα}{cos πα} (cos πα - 1) = tg πα (cos πα - 1)$

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $cos α - 1 = -2 sin^2(\frac{α}{2})$:

$tg πα \cdot (-2 sin^2(\frac{πα}{2}))$

Ответ: $-2 tg πα sin^2(\frac{πα}{2})$

4) $ctg(2α + 30°) - cos(2α + 30°)$

Для удобства введем замену $β = 2α + 30°$. Выражение примет вид $ctg β - cos β$.

Представим котангенс как отношение косинуса к синусу:

$\frac{cos β}{sin β} - cos β$

Вынесем $cos β$ за скобки:

$cos β (\frac{1}{sin β} - 1)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$cos β (\frac{1 - sin β}{sin β})$

Перегруппируем множители:

$\frac{cos β}{sin β} (1 - sin β) = ctg β (1 - sin β)$

Чтобы преобразовать выражение $1 - sin β$, используем формулу приведения $sin x = cos(90° - x)$:

$1 - sin β = 1 - cos(90° - β)$

Далее применим формулу $1 - cos y = 2 sin^2(\frac{y}{2})$:

$1 - cos(90° - β) = 2 sin^2(\frac{90° - β}{2}) = 2 sin^2(45° - \frac{β}{2})$

Подставим $β = 2α + 30°$ в аргумент синуса:

$45° - \frac{β}{2} = 45° - \frac{2α + 30°}{2} = 45° - (α + 15°) = 45° - α - 15° = 30° - α$

Таким образом, $1 - sin β = 2 sin^2(30° - α)$.

Подставим все обратно в выражение, заменив $β$ на $2α + 30°$:

$ctg(2α + 30°) \cdot 2 sin^2(30° - α)$

Ответ: $2 ctg(2α + 30°) sin^2(30° - α)$

1104. Преобразовать в произведение:

1) $1 - \sqrt{2}\sin\alpha;$

2) $\sin^2\alpha - 0,75;$

3) $\sin x + \sqrt{3}\cos x;$

4) $\sqrt{3}\sin x - \cos x.$

1) Для преобразования выражения $1 - \sqrt{2}\sin\alpha$ в произведение, представим $1$ как $\sin\frac{\pi}{2}$ и вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{2}$ из второго слагаемого, чтобы получить известные значения синусов.
$1 - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} - \sin\alpha) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin\alpha)$.
Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в выражение:
$\sqrt{2}(\sin\frac{\pi}{4} - \sin\alpha)$.
Теперь воспользуемся формулой разности синусов: $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$.
В нашем случае $A = \frac{\pi}{4}$ и $B = \alpha$.
$\sqrt{2} \cdot \left(2\cos\frac{\frac{\pi}{4}+\alpha}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{4}-\alpha}{2}\right) = 2\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2})$.
Ответ: $2\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2})$

2) Чтобы преобразовать выражение $\sin^2\alpha - 0,75$, представим $0,75$ в виде квадрата тригонометрической функции. $0,75 = \frac{3}{4} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$.
Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $\sin^2\frac{\pi}{3} = \frac{3}{4}$.
Выражение принимает вид разности квадратов синусов:
$\sin^2\alpha - \sin^2\frac{\pi}{3}$.
Применим формулу $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$.
$\sin^2\alpha - \sin^2\frac{\pi}{3} = \sin(\alpha+\frac{\pi}{3})\sin(\alpha-\frac{\pi}{3})$.
Ответ: $\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})\sin(\alpha-\frac{\pi}{3})$

3) Выражение $\sin x + \sqrt{3}\cos x$ является линейной комбинацией синуса и косинуса вида $a\sin x + b\cos x$. Для его преобразования в произведение используется метод введения вспомогательного угла.
Вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{a^2+b^2}$. В нашем случае $a=1, b=\sqrt{3}$, поэтому $R = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.
$2(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x)$.
Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$. Подставим эти значения:
$2(\cos\frac{\pi}{3}\sin x + \sin\frac{\pi}{3}\cos x)$.
Выражение в скобках соответствует формуле синуса суммы: $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.
$2\sin(x+\frac{\pi}{3})$.
Ответ: $2\sin(x+\frac{\pi}{3})$

4) Выражение $\sqrt{3}\sin x - \cos x$ преобразуется аналогично предыдущему пункту.
Выносим за скобки множитель $R = \sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
$2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x)$.
Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$ и $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$. Подставим эти значения:
$2(\cos\frac{\pi}{6}\sin x - \sin\frac{\pi}{6}\cos x)$.
Выражение в скобках соответствует формуле синуса разности: $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
$2\sin(x-\frac{\pi}{6})$.
Ответ: $2\sin(x-\frac{\pi}{6})$

1105. Доказать тождество:

1) $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha + \sin7\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha + \cos7\alpha} = \text{tg}4\alpha;$

2) $\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma - \sin(\alpha + \beta + \gamma) = 4\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\beta + \gamma}{2}\sin\frac{\gamma + \alpha}{2}.$

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе дроби и применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:

$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

Группируем первое слагаемое с четвертым и второе с третьим:

$\frac{(\sin\alpha + \sin7\alpha) + (\sin3\alpha + \sin5\alpha)}{(\cos\alpha + \cos7\alpha) + (\cos3\alpha + \cos5\alpha)} = $

Применяем формулы к каждой паре слагаемых:

Для числителя:

$\sin\alpha + \sin7\alpha = 2\sin\frac{\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2\sin4\alpha\cos3\alpha$

$\sin3\alpha + \sin5\alpha = 2\sin\frac{3\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\sin4\alpha\cos\alpha$

Для знаменателя:

$\cos\alpha + \cos7\alpha = 2\cos\frac{\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2\cos4\alpha\cos3\alpha$

$\cos3\alpha + \cos5\alpha = 2\cos\frac{3\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\cos4\alpha\cos\alpha$

Подставляем полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{2\sin4\alpha\cos3\alpha + 2\sin4\alpha\cos\alpha}{2\cos4\alpha\cos3\alpha + 2\cos4\alpha\cos\alpha} = $

Выносим общие множители за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{2\sin4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)}{2\cos4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)} = $

Сокращаем дробь на общий множитель $2(\cos3\alpha + \cos\alpha)$, при условии, что он не равен нулю:

$\frac{\sin4\alpha}{\cos4\alpha} = \text{tg}4\alpha$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha + \sin7\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha + \cos7\alpha} = \text{tg}4\alpha$ доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые и применим формулы суммы и разности синусов:

$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

$\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым:

$(\sin\alpha + \sin\beta) + (\sin\gamma - \sin(\alpha + \beta + \gamma)) = $

Применяем формулы к каждой паре слагаемых:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin\gamma - \sin(\alpha + \beta + \gamma) = 2\cos\frac{\gamma + \alpha + \beta + \gamma}{2}\sin\frac{\gamma - (\alpha + \beta + \gamma)}{2} = 2\cos\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}\sin\frac{-\alpha - \beta}{2}$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$-2\cos\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}\sin\frac{\alpha + \beta}{2}$

Подставляем полученные выражения в исходное:

$2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} = $

Выносим общий множитель $2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}$ за скобки:

$2\sin\frac{\alpha + \beta}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} \right) = $

К выражению в скобках применим формулу разности косинусов:

$\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$

$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2} = -2\sin\frac{\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}}{2}\sin\frac{\frac{\alpha-\beta}{2} - \frac{\alpha + \beta + 2\gamma}{2}}{2} = $

$-2\sin\frac{\frac{2\alpha+2\gamma}{2}}{2}\sin\frac{\frac{-2\beta-2\gamma}{2}}{2} = -2\sin\frac{\alpha+\gamma}{2}\sin\frac{-(\beta+\gamma)}{2} = $

Используя свойство нечетности синуса, получаем:

$-2\sin\frac{\alpha+\gamma}{2} \left( -\sin\frac{\beta+\gamma}{2} \right) = 2\sin\frac{\alpha+\gamma}{2}\sin\frac{\beta+\gamma}{2}$

Подставляем это выражение обратно:

$2\sin\frac{\alpha + \beta}{2} \left( 2\sin\frac{\alpha+\gamma}{2}\sin\frac{\beta+\gamma}{2} \right) = 4\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\beta + \gamma}{2}\sin\frac{\gamma + \alpha}{2}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma - \sin(\alpha + \beta + \gamma) = 4\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\beta + \gamma}{2}\sin\frac{\gamma + \alpha}{2}$ доказано.

1106. Преобразовать в произведение:

1) $cos2\alpha - cos3\alpha - cos4\alpha + cos5\alpha;$

2) $sin4\alpha + sin6\alpha + sin8\alpha + sin10\alpha.$

Преобразуем выражение $\cos(2\alpha) - \cos(3\alpha) - \cos(4\alpha) + \cos(5\alpha)$.

Для удобства сгруппируем слагаемые: $(\cos(5\alpha) + \cos(2\alpha)) - (\cos(3\alpha) + \cos(4\alpha))$.

Воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos(x) + \cos(y) = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$.

Преобразуем первую группу:

$\cos(5\alpha) + \cos(2\alpha) = 2\cos(\frac{5\alpha+2\alpha}{2})\cos(\frac{5\alpha-2\alpha}{2}) = 2\cos(\frac{7\alpha}{2})\cos(\frac{3\alpha}{2})$.

Преобразуем вторую группу:

$\cos(3\alpha) + \cos(4\alpha) = 2\cos(\frac{3\alpha+4\alpha}{2})\cos(\frac{3\alpha-4\alpha}{2}) = 2\cos(\frac{7\alpha}{2})\cos(-\frac{\alpha}{2}) = 2\cos(\frac{7\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$.

Подставим полученные выражения обратно:

$2\cos(\frac{7\alpha}{2})\cos(\frac{3\alpha}{2}) - 2\cos(\frac{7\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$.

Вынесем общий множитель $2\cos(\frac{7\alpha}{2})$ за скобки:

$2\cos(\frac{7\alpha}{2})(\cos(\frac{3\alpha}{2}) - \cos(\frac{\alpha}{2}))$.

Теперь к выражению в скобках применим формулу разности косинусов: $\cos(x) - \cos(y) = -2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2})$.

$\cos(\frac{3\alpha}{2}) - \cos(\frac{\alpha}{2}) = -2\sin(\frac{\frac{3\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}}{2})\sin(\frac{\frac{3\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2}) = -2\sin(\frac{2\alpha}{2})\sin(\frac{\alpha}{2}) = -2\sin(\alpha)\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Подставим это в итоговое выражение:

$2\cos(\frac{7\alpha}{2}) \cdot (-2\sin(\alpha)\sin(\frac{\alpha}{2})) = -4\sin(\frac{\alpha}{2})\sin(\alpha)\cos(\frac{7\alpha}{2})$.

Ответ: $-4\sin(\frac{\alpha}{2})\sin(\alpha)\cos(\frac{7\alpha}{2})$

Преобразуем выражение $\sin(4\alpha) + \sin(6\alpha) + \sin(8\alpha) + \sin(10\alpha)$.

Сгруппируем слагаемые: $(\sin(10\alpha) + \sin(4\alpha)) + (\sin(8\alpha) + \sin(6\alpha))$.

Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin(x) + \sin(y) = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$.

Преобразуем первую группу:

$\sin(10\alpha) + \sin(4\alpha) = 2\sin(\frac{10\alpha+4\alpha}{2})\cos(\frac{10\alpha-4\alpha}{2}) = 2\sin(7\alpha)\cos(3\alpha)$.

Преобразуем вторую группу:

$\sin(8\alpha) + \sin(6\alpha) = 2\sin(\frac{8\alpha+6\alpha}{2})\cos(\frac{8\alpha-6\alpha}{2}) = 2\sin(7\alpha)\cos(\alpha)$.

Подставим полученные выражения обратно:

$2\sin(7\alpha)\cos(3\alpha) + 2\sin(7\alpha)\cos(\alpha)$.

Вынесем общий множитель $2\sin(7\alpha)$ за скобки:

$2\sin(7\alpha)(\cos(3\alpha) + \cos(\alpha))$.

Теперь к выражению в скобках применим формулу суммы косинусов: $\cos(x) + \cos(y) = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$.

$\cos(3\alpha) + \cos(\alpha) = 2\cos(\frac{3\alpha+\alpha}{2})\cos(\frac{3\alpha-\alpha}{2}) = 2\cos(2\alpha)\cos(\alpha)$.

Подставим это в итоговое выражение:

$2\sin(7\alpha) \cdot (2\cos(2\alpha)\cos(\alpha)) = 4\cos(\alpha)\cos(2\alpha)\sin(7\alpha)$.

Ответ: $4\cos(\alpha)\cos(2\alpha)\sin(7\alpha)$

1107. Доказать, что при $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ справедливо тождество:

1) $\sin^2\alpha \sin2\alpha + \sin^2\beta \sin2\beta + \sin^2\gamma \sin2\gamma - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma = 2\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$;

2) $\cos^2\alpha \cos2\alpha + \cos^2\beta \cos2\beta + \cos^2\gamma \cos2\gamma - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma = -2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma$.

1) Докажем тождество $\sin^2\alpha \sin2\alpha + \sin^2\beta \sin2\beta + \sin^2\gamma \sin2\gamma - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma = 2\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$ при условии $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

Обозначим левую часть тождества как $L$. Преобразуем ее, используя формулу понижения степени $\sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2}$:

$L = \frac{1-\cos2\alpha}{2}\sin2\alpha + \frac{1-\cos2\beta}{2}\sin2\beta + \frac{1-\cos2\gamma}{2}\sin2\gamma - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma$

$L = \frac{1}{2}(\sin2\alpha - \cos2\alpha\sin2\alpha + \sin2\beta - \cos2\beta\sin2\beta + \sin2\gamma - \cos2\gamma\sin2\gamma) - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$:

$L = \frac{1}{2}(\sin2\alpha + \sin2\beta + \sin2\gamma) - \frac{1}{2}(\sin2\alpha\cos2\alpha + \sin2\beta\cos2\beta + \sin2\gamma\cos2\gamma) - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma$

$L = \frac{1}{2}(\sin2\alpha + \sin2\beta + \sin2\gamma) - \frac{1}{4}(\sin4\alpha + \sin4\beta + \sin4\gamma) - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma$

Теперь воспользуемся двумя вспомогательными тождествами, справедливыми при $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

Вспомогательное тождество 1: $\sin2\alpha + \sin2\beta + \sin2\gamma = 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$.
Доказательство:
$\sin2\alpha + \sin2\beta + \sin2\gamma = 2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + 2\sin\gamma\cos\gamma$
Так как $\alpha+\beta = \pi - \gamma$, то $\sin(\alpha+\beta) = \sin(\pi - \gamma) = \sin\gamma$.
$= 2\sin\gamma\cos(\alpha-\beta) + 2\sin\gamma\cos\gamma = 2\sin\gamma(\cos(\alpha-\beta) + \cos\gamma)$
Так как $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$, то $\cos\gamma = \cos(\pi - (\alpha+\beta)) = -\cos(\alpha+\beta)$.
$= 2\sin\gamma(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$
Используя формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:
$= 2\sin\gamma(-2\sin\alpha\sin(-\beta)) = 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$. Тождество доказано.

Вспомогательное тождество 2: $\sin4\alpha + \sin4\beta + \sin4\gamma = -4\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma$.
Доказательство:
Пусть $A=2\alpha, B=2\beta, C=2\gamma$. Тогда $A+B+C = 2(\alpha+\beta+\gamma) = 2\pi$. Нам нужно доказать $\sin(2A) + \sin(2B) + \sin(2C) = -4\sin A\sin B\sin C$.
$\sin(2A) + \sin(2B) + \sin(2C) = 2\sin(A+B)\cos(A-B) + 2\sin C\cos C$
Так как $A+B = 2\pi - C$, то $\sin(A+B) = \sin(2\pi - C) = -\sin C$.
$= -2\sin C\cos(A-B) + 2\sin C\cos C = -2\sin C(\cos(A-B) - \cos C)$
Так как $C = 2\pi - (A+B)$, то $\cos C = \cos(2\pi - (A+B)) = \cos(A+B)$.
$= -2\sin C(\cos(A-B) - \cos(A+B))$
$= -2\sin C(-2\sin A\sin(-B)) = -4\sin A\sin B\sin C$.
Подставляя обратно $A=2\alpha, B=2\beta, C=2\gamma$, получаем искомое тождество.

Теперь подставим выражения из вспомогательных тождеств в преобразованную левую часть $L$:
$L = \frac{1}{2}(4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma) - \frac{1}{4}(-4\sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma) - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma$
$L = 2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma + \sin2\alpha\sin2\beta\sin2\gamma - \sin2\alpha \sin2\beta \sin2\gamma$
$L = 2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\cos^2\alpha \cos2\alpha + \cos^2\beta \cos2\beta + \cos^2\gamma \cos2\gamma - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma = -2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma$ при условии $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

Обозначим левую часть тождества как $L$. Преобразуем ее, используя формулу понижения степени $\cos^2x = \frac{1+\cos2x}{2}$:

$L = \frac{1+\cos2\alpha}{2}\cos2\alpha + \frac{1+\cos2\beta}{2}\cos2\beta + \frac{1+\cos2\gamma}{2}\cos2\gamma - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma$

$L = \frac{1}{2}(\cos2\alpha + \cos^2(2\alpha) + \cos2\beta + \cos^2(2\beta) + \cos2\gamma + \cos^2(2\gamma)) - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma$

Сгруппируем слагаемые и снова применим формулу понижения степени $\cos^2(2x) = \frac{1+\cos4x}{2}$:

$L = \frac{1}{2}(\cos2\alpha + \cos2\beta + \cos2\gamma) + \frac{1}{2}(\cos^2(2\alpha) + \cos^2(2\beta) + \cos^2(2\gamma)) - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma$

$L = \frac{1}{2}(\cos2\alpha + \cos2\beta + \cos2\gamma) + \frac{1}{2}\left(\frac{1+\cos4\alpha}{2} + \frac{1+\cos4\beta}{2} + \frac{1+\cos4\gamma}{2}\right) - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma$

$L = \frac{1}{2}(\cos2\alpha + \cos2\beta + \cos2\gamma) + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}(\cos4\alpha + \cos4\beta + \cos4\gamma) - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma$

Теперь воспользуемся двумя другими вспомогательными тождествами, справедливыми при $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

Вспомогательное тождество 3: $\cos2\alpha + \cos2\beta + \cos2\gamma = -1 - 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$.
Доказательство:
$\cos2\alpha + \cos2\beta + \cos2\gamma = 2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + 2\cos^2\gamma - 1$
Так как $\alpha+\beta = \pi - \gamma$, то $\cos(\alpha+\beta) = -\cos\gamma$.
$= -2\cos\gamma\cos(\alpha-\beta) + 2\cos^2\gamma - 1 = -2\cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) - \cos\gamma) - 1$
Так как $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$, то $\cos\gamma = -\cos(\alpha+\beta)$.
$= -2\cos\gamma(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)) - 1$
Используя формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
$= -2\cos\gamma(2\cos\alpha\cos(-\beta)) - 1 = -1 - 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$. Тождество доказано.

Вспомогательное тождество 4: $\cos4\alpha + \cos4\beta + \cos4\gamma = 4\cos2\alpha\cos2\beta\cos2\gamma - 1$.
Доказательство:
Пусть $A=2\alpha, B=2\beta, C=2\gamma$. Тогда $A+B+C = 2\pi$. Нам нужно доказать $\cos(2A) + \cos(2B) + \cos(2C) = 4\cos A\cos B\cos C - 1$.
$\cos(2A) + \cos(2B) + \cos(2C) = 2\cos(A+B)\cos(A-B) + 2\cos^2C - 1$
Так как $A+B = 2\pi - C$, то $\cos(A+B) = \cos(2\pi - C) = \cos C$.
$= 2\cos C\cos(A-B) + 2\cos^2C - 1 = 2\cos C(\cos(A-B) + \cos C) - 1$
Так как $C = 2\pi - (A+B)$, то $\cos C = \cos(A+B)$.
$= 2\cos C(\cos(A-B) + \cos(A+B)) - 1 = 2\cos C(2\cos A\cos B) - 1 = 4\cos A\cos B\cos C - 1$.
Подставляя обратно $A=2\alpha, B=2\beta, C=2\gamma$, получаем искомое тождество.

Теперь подставим выражения из вспомогательных тождеств в преобразованную левую часть $L$:
$L = \frac{1}{2}(-1 - 4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma) + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}(4\cos2\alpha\cos2\beta\cos2\gamma - 1) - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma$
$L = -\frac{1}{2} - 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma + \frac{3}{4} + \cos2\alpha\cos2\beta\cos2\gamma - \frac{1}{4} - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma$
$L = \left(-\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right) - 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma + (\cos2\alpha\cos2\beta\cos2\gamma - \cos2\alpha \cos2\beta \cos2\gamma)$
$L = \left(-\frac{2}{4} + \frac{2}{4}\right) - 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma + 0 = -2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.