Страница 314 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1094. Упростить выражение:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)+\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)$;

2) $\cos\left(\frac{\pi}{4}-\beta\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}+\beta\right)$;

3) $\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)$;

4) $\cos^2\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)-\cos^2\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$.

1) Для упрощения выражения $sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) + sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)$ воспользуемся формулой суммы синусов: $sin(x) + sin(y) = 2 sin(\frac{x+y}{2}) cos(\frac{x-y}{2})$.
В нашем случае $x = \frac{\pi}{3} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3} - \alpha$.
Найдем полусумму и полуразность аргументов:
$\frac{x+y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) + (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$
$\frac{x-y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) - (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$
Подставим найденные значения в формулу:
$2 sin(\frac{\pi}{3}) cos(\alpha)$
Зная, что $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} cos(\alpha) = \sqrt{3} cos(\alpha)$.
Ответ: $\sqrt{3}cos(\alpha)$.

2) Для упрощения выражения $cos(\frac{\pi}{4} - \beta) - cos(\frac{\pi}{4} + \beta)$ воспользуемся формулой разности косинусов: $cos(x) - cos(y) = -2 sin(\frac{x+y}{2}) sin(\frac{x-y}{2})$.
В нашем случае $x = \frac{\pi}{4} - \beta$ и $y = \frac{\pi}{4} + \beta$.
Найдем полусумму и полуразность аргументов:
$\frac{x+y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} - \beta) + (\frac{\pi}{4} + \beta)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{4}$
$\frac{x-y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} - \beta) - (\frac{\pi}{4} + \beta)}{2} = \frac{-2\beta}{2} = -\beta$
Подставим найденные значения в формулу:
$-2 sin(\frac{\pi}{4}) sin(-\beta)$
Так как $sin(-\beta) = -sin(\beta)$, выражение преобразуется к виду:
$-2 sin(\frac{\pi}{4}) (-sin(\beta)) = 2 sin(\frac{\pi}{4}) sin(\beta)$
Зная, что $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} sin(\beta) = \sqrt{2} sin(\beta)$.
Ответ: $\sqrt{2}sin(\beta)$.

3) Для упрощения выражения $sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) - sin^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ применим формулу разности квадратов синусов: $sin^2(A) - sin^2(B) = sin(A+B)sin(A-B)$.
Пусть $A = \frac{\pi}{4} + \alpha$ и $B = \frac{\pi}{4} - \alpha$.
Тогда сумма и разность аргументов равны:
$A+B = (\frac{\pi}{4} + \alpha) + (\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
$A-B = (\frac{\pi}{4} + \alpha) - (\frac{\pi}{4} - \alpha) = 2\alpha$
Подставим эти значения в формулу:
$sin(\frac{\pi}{2})sin(2\alpha)$
Так как $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, итоговое выражение равно:
$1 \cdot sin(2\alpha) = sin(2\alpha)$.
Ответ: $sin(2\alpha)$.

4) Для упрощения выражения $cos^2(\alpha - \frac{\pi}{4}) - cos^2(\alpha + \frac{\pi}{4})$ используем формулу понижения степени $cos^2(x) = \frac{1+cos(2x)}{2}$.
$cos^2(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1+cos(2(\alpha - \frac{\pi}{4}))}{2} = \frac{1+cos(2\alpha - \frac{\pi}{2})}{2}$
$cos^2(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1+cos(2(\alpha + \frac{\pi}{4}))}{2} = \frac{1+cos(2\alpha + \frac{\pi}{2})}{2}$
Вычтем второе из первого:
$\frac{1+cos(2\alpha - \frac{\pi}{2})}{2} - \frac{1+cos(2\alpha + \frac{\pi}{2})}{2} = \frac{1+cos(2\alpha - \frac{\pi}{2}) - 1 - cos(2\alpha + \frac{\pi}{2})}{2} = \frac{cos(2\alpha - \frac{\pi}{2}) - cos(2\alpha + \frac{\pi}{2})}{2}$
Применим формулы приведения: $cos(x - \frac{\pi}{2}) = sin(x)$ и $cos(x + \frac{\pi}{2}) = -sin(x)$.
$\frac{sin(2\alpha) - (-sin(2\alpha))}{2} = \frac{sin(2\alpha) + sin(2\alpha)}{2} = \frac{2sin(2\alpha)}{2} = sin(2\alpha)$.
Ответ: $sin(2\alpha)$.

1095. Вычислить:

1) $ \cos 105^\circ + \cos 75^\circ $

2) $ \sin 105^\circ - \sin 75^\circ $

3) $ \cos \frac{11\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{12} $

4) $ \cos \frac{11\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} $

5) $ \sin \frac{7\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} $

6) $ \sin 105^\circ + \sin 165^\circ $

1) $cos 105^\circ + cos 75^\circ$

Для решения используем формулу суммы косинусов: $cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

В данном случае $\alpha = 105^\circ$ и $\beta = 75^\circ$.

Находим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{105^\circ + 75^\circ}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{105^\circ - 75^\circ}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$

Подставляем значения в формулу:

$cos 105^\circ + cos 75^\circ = 2 cos(90^\circ) cos(15^\circ)$

Так как $cos(90^\circ) = 0$, то все выражение равно нулю:

$2 \cdot 0 \cdot cos(15^\circ) = 0$

Ответ: $0$

2) $sin 105^\circ - sin 75^\circ$

Для решения используем формулу разности синусов: $sin \alpha - sin \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} sin \frac{\alpha - \beta}{2}$.

В данном случае $\alpha = 105^\circ$ и $\beta = 75^\circ$.

Находим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{105^\circ + 75^\circ}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{105^\circ - 75^\circ}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$

Подставляем значения в формулу:

$sin 105^\circ - sin 75^\circ = 2 cos(90^\circ) sin(15^\circ)$

Так как $cos(90^\circ) = 0$, то все выражение равно нулю:

$2 \cdot 0 \cdot sin(15^\circ) = 0$

Ответ: $0$

3) $cos \frac{11\pi}{12} + cos \frac{5\pi}{12}$

Используем формулу суммы косинусов: $cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Здесь $\alpha = \frac{11\pi}{12}$ и $\beta = \frac{5\pi}{12}$.

Находим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{16\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{3}}{2} = \frac{2\pi}{3}$

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$

Подставляем значения в формулу:

$cos \frac{11\pi}{12} + cos \frac{5\pi}{12} = 2 cos(\frac{2\pi}{3}) cos(\frac{\pi}{4})$

Находим значения косинусов: $cos(\frac{2\pi}{3}) = - \frac{1}{2}$ и $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вычисляем результат:

$2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

4) $cos \frac{11\pi}{12} - cos \frac{5\pi}{12}$

Используем формулу разности косинусов: $cos \alpha - cos \beta = -2 sin \frac{\alpha + \beta}{2} sin \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Здесь $\alpha = \frac{11\pi}{12}$ и $\beta = \frac{5\pi}{12}$.

Находим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{16\pi}{12}}{2} = \frac{2\pi}{3}$

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\frac{11\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\pi}{4}$

Подставляем значения в формулу:

$cos \frac{11\pi}{12} - cos \frac{5\pi}{12} = -2 sin(\frac{2\pi}{3}) sin(\frac{\pi}{4})$

Находим значения синусов: $sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вычисляем результат:

$-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{2}$

5) $sin \frac{7\pi}{12} - sin \frac{\pi}{12}$

Используем формулу разности синусов: $sin \alpha - sin \beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta}{2} sin \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Здесь $\alpha = \frac{7\pi}{12}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$.

Находим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{8\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$

Подставляем значения в формулу:

$sin \frac{7\pi}{12} - sin \frac{\pi}{12} = 2 cos(\frac{\pi}{3}) sin(\frac{\pi}{4})$

Находим значения тригонометрических функций: $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вычисляем результат:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

6) $sin 105^\circ + sin 165^\circ$

Используем формулу суммы синусов: $sin \alpha + sin \beta = 2 sin \frac{\alpha + \beta}{2} cos \frac{\alpha - \beta}{2}$.

В данном случае $\alpha = 105^\circ$ и $\beta = 165^\circ$.

Находим полусумму и полуразность углов:

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{105^\circ + 165^\circ}{2} = \frac{270^\circ}{2} = 135^\circ$

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{105^\circ - 165^\circ}{2} = \frac{-60^\circ}{2} = -30^\circ$

Подставляем значения в формулу:

$sin 105^\circ + sin 165^\circ = 2 sin(135^\circ) cos(-30^\circ)$

Находим значения тригонометрических функций, учитывая, что косинус - четная функция ($cos(-x) = cos(x)$):

$sin(135^\circ) = sin(180^\circ - 45^\circ) = sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos(-30^\circ) = cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычисляем результат:

$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

1096. Преобразовать в произведение:

1) $1 + 2\sin\alpha;$

2) $1 - 2\sin\alpha;$

3) $1 + 2\cos\alpha;$

4) $1 + \sin\alpha.$

1) Чтобы преобразовать выражение $1 + 2\sin\alpha$ в произведение, вынесем за скобки множитель 2:

$1 + 2\sin\alpha = 2\left(\frac{1}{2} + \sin\alpha\right)$

Представим $\frac{1}{2}$ в виде синуса угла: $\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

$2\left(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\alpha\right)$

Теперь применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$, где $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$:

$2 \cdot \left( 2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\right) \right)$

Упростив выражение, получаем итоговый результат:

$4\sin\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\sin\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right)$

2) Для преобразования выражения $1 - 2\sin\alpha$ в произведение, поступим аналогично предыдущему пункту. Вынесем 2 за скобки:

$1 - 2\sin\alpha = 2\left(\frac{1}{2} - \sin\alpha\right)$

Заменим $\frac{1}{2}$ на $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$:

$2\left(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin\alpha\right)$

Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)$, где $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$:

$2 \cdot \left( 2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\right) \right)$

После упрощения получаем:

$4\sin\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\sin\left(\frac{\pi}{12} - \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2}\right)$

3) Для преобразования выражения $1 + 2\cos\alpha$ в произведение, снова вынесем 2 за скобки:

$1 + 2\cos\alpha = 2\left(\frac{1}{2} + \cos\alpha\right)$

Представим $\frac{1}{2}$ в виде косинуса угла: $\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

$2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\alpha\right)$

Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$, где $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$:

$2 \cdot \left( 2\cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2}\right) \right)$

Упростив, получим:

$4\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$

4) Для преобразования выражения $1 + \sin\alpha$ в произведение, представим 1 как синус угла: $1 = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

$1 + \sin\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\alpha$

Применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$, где $x = \frac{\pi}{2}$ и $y = \alpha$:

$2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}-\alpha}{2}\right)$

Упрощая аргументы тригонометрических функций, получаем:

$2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Это является верным ответом. Также можно заметить, что по формуле приведения $\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)$. Тогда выражение можно записать в более компактной форме:

$2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$ или $2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right)$

1097. Доказать тождество:

1) $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} = \operatorname{tg}2\alpha;$

2) $\frac{\sin\alpha + \sin4\alpha}{\cos2\alpha - \cos4\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha.$

1) Докажем тождество $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} = \text{tg}2\alpha$.

Для преобразования левой части тождества воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов:

$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби в левой части выражения.

Преобразуем числитель:

$\sin\alpha + \sin3\alpha = 2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin\frac{4\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = 2\sin(2\alpha)\cos(\alpha)$.

Преобразуем знаменатель:

$\cos\alpha + \cos3\alpha = 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos\frac{4\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = 2\cos(2\alpha)\cos(\alpha)$.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в левую часть тождества:

$\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} = \frac{2\sin(2\alpha)\cos(\alpha)}{2\cos(2\alpha)\cos(\alpha)}$

Сократим общие множители $2$ и $\cos(\alpha)$ (при условии, что $\cos(\alpha) \neq 0$ и $\cos(2\alpha) \neq 0$):

$\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \text{tg}(2\alpha)$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Рассмотрим тождество $\frac{\sin\alpha + \sin4\alpha}{\cos2\alpha - \cos4\alpha} = \text{ctg}\alpha$.

Для преобразования левой части воспользуемся формулами суммы синусов и разности косинусов:

$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$

Преобразуем числитель дроби:

$\sin\alpha + \sin4\alpha = 2\sin\frac{\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-\alpha}{2} = 2\sin\frac{5\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}$.

Преобразуем знаменатель дроби:

$\cos2\alpha - \cos4\alpha = -2\sin\frac{2\alpha+4\alpha}{2}\sin\frac{2\alpha-4\alpha}{2} = -2\sin\frac{6\alpha}{2}\sin\frac{-2\alpha}{2} = -2\sin(3\alpha)(-\sin\alpha) = 2\sin(3\alpha)\sin(\alpha)$.

Подставив полученные выражения в левую часть, получаем:

$\frac{2\sin\frac{5\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}}{2\sin(3\alpha)\sin(\alpha)} = \frac{\sin\frac{5\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}}{\sin(3\alpha)\sin(\alpha)}$

Данное выражение не упрощается до $\text{ctg}\alpha$. Следовательно, исходное тождество неверно. Вероятно, в условии задачи содержится опечатка. Наиболее вероятная опечатка — в числителе вместо $\sin\alpha$ должно быть $\sin2\alpha$.

Докажем исправленное тождество: $\frac{\sin2\alpha + \sin4\alpha}{\cos2\alpha - \cos4\alpha} = \text{ctg}\alpha$.

Преобразуем числитель исправленного выражения:

$\sin2\alpha + \sin4\alpha = 2\sin\frac{2\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\sin(3\alpha)\cos(\alpha)$.

Знаменатель мы уже преобразовали: $\cos2\alpha - \cos4\alpha = 2\sin(3\alpha)\sin(\alpha)$.

Подставим преобразованные части в исправленное тождество:

$\frac{2\sin(3\alpha)\cos(\alpha)}{2\sin(3\alpha)\sin(\alpha)}$

Сократим общие множители $2$ и $\sin(3\alpha)$ (при условии, что $\sin(3\alpha) \neq 0$ и $\sin(\alpha) \neq 0$):

$\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \text{ctg}(\alpha)$

Таким образом, левая часть равна правой, и исправленное тождество является верным.

Ответ: В предложенном виде тождество не является верным. Вероятно, в условии допущена опечатка. Если заменить в числителе $\sin\alpha$ на $\sin2\alpha$, то тождество $\frac{\sin2\alpha + \sin4\alpha}{\cos2\alpha - \cos4\alpha} = \text{ctg}\alpha$ доказывается.

1098. Упростить выражение:

1) $\frac{2(\cos \alpha + \cos 3\alpha)}{2\sin 2\alpha + \sin 4\alpha};$

2) $\frac{1 + \sin \alpha - \cos 2\alpha - \sin 3\alpha}{2\sin^2 \alpha + \sin \alpha - 1}.$

1) Упростим данное выражение по частям. Сначала преобразуем числитель, используя формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $:

$ 2(\cos\alpha + \cos3\alpha) = 2 \cdot (2 \cos\frac{\alpha+3\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2}) = 4 \cos(2\alpha) \cos\alpha $.

Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, поэтому $ \sin(4\alpha) = \sin(2 \cdot 2\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $:

$ 2\sin2\alpha + \sin4\alpha = 2\sin2\alpha + 2\sin2\alpha\cos2\alpha = 2\sin2\alpha(1 + \cos2\alpha) $.

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $ 1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x $:

$ 2\sin2\alpha(1 + \cos2\alpha) = 2\sin2\alpha \cdot (2\cos^2\alpha) = 4\sin2\alpha\cos^2\alpha $.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{4 \cos(2\alpha) \cos\alpha}{4\sin2\alpha\cos^2\alpha} = \frac{\cos(2\alpha) \cos\alpha}{\sin2\alpha\cos^2\alpha} $.

Сократим дробь на $ \cos\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $):

$ \frac{\cos(2\alpha)}{\sin2\alpha\cos\alpha} $.

Это выражение можно также представить, раскрыв $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ \frac{\cos(2\alpha)}{(2\sin\alpha\cos\alpha)\cos\alpha} = \frac{\cos(2\alpha)}{2\sin\alpha\cos^2\alpha} $.

Ответ: $ \frac{\cos(2\alpha)}{\sin2\alpha\cos\alpha} $ или $ \frac{\cos(2\alpha)}{2\sin\alpha\cos^2\alpha} $.

2) Рассмотрим выражение $ \frac{1 + \sin\alpha - \cos2\alpha - \sin3\alpha}{2\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1} $.

Преобразуем числитель, сгруппировав слагаемые: $ (1 - \cos2\alpha) + (\sin\alpha - \sin3\alpha) $.

Используем тригонометрические формулы:

Формула косинуса двойного угла: $ 1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha $.

Формула разности синусов: $ \sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $.

$ \sin\alpha - \sin3\alpha = 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} = 2\cos(2\alpha)\sin(-\alpha) = -2\cos(2\alpha)\sin\alpha $.

Таким образом, числитель равен: $ 2\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos(2\alpha) = 2\sin\alpha(\sin\alpha - \cos(2\alpha)) $.

Теперь преобразуем выражение в скобках, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $:

$ \sin\alpha - \cos(2\alpha) = \sin\alpha - (1 - 2\sin^2\alpha) = 2\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1 $.

Мы видим, что это выражение совпадает со знаменателем исходной дроби.

Подставим это обратно в выражение для числителя:

Числитель: $ 2\sin\alpha(2\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1) $.

Теперь запишем всю дробь:

$ \frac{2\sin\alpha(2\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1)}{2\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1} $.

Сокращая дробь на $ (2\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1) $ (при условии, что это выражение не равно нулю), получаем:

$ 2\sin\alpha $.

Ответ: $ 2\sin\alpha $.

1099. Доказать тождество:

1) $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha + \sin 2\alpha = \sqrt{2} \cos \left( 2\alpha - \frac{\pi}{4} \right);$

2) $\cos \alpha + \cos \left( \frac{2\pi}{3} + \alpha \right) + \cos \left( \frac{2\pi}{3} - \alpha \right) = 0;$

3) $\frac{\sin 2\alpha + \sin 5\alpha - \sin 3\alpha}{\cos \alpha + 1 - 2\sin^2 2\alpha} = 2\sin \alpha.$

1) Докажем тождество $cos⁴α - sin⁴α + sin2α = \sqrt{2}cos(2α - \frac{\pi}{4})$.
Преобразуем левую часть (ЛЧ) выражения. Сначала рассмотрим разность $cos⁴α - sin⁴α$.
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$cos⁴α - sin⁴α = (cos²α)² - (sin²α)² = (cos²α - sin²α)(cos²α + sin²α)$
Далее применяем основное тригонометрическое тождество $sin²α + cos²α = 1$ и формулу косинуса двойного угла $cos2α = cos²α - sin²α$:
$(cos²α - sin²α)(cos²α + sin²α) = cos2α \cdot 1 = cos2α$
Таким образом, вся левая часть приводится к виду:
ЛЧ = $cos2α + sin2α$

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ) выражения.
ПЧ = $\sqrt{2}cos(2α - \frac{\pi}{4})$
Используем формулу косинуса разности $cos(x-y) = cosx \cdot cosy + sinx \cdot siny$:
ПЧ = $\sqrt{2}(cos2α \cdot cos\frac{\pi}{4} + sin2α \cdot sin\frac{\pi}{4})$
Значения $cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставляем их в выражение:
ПЧ = $\sqrt{2}(cos2α \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + sin2α \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$
Раскрываем скобки:
ПЧ = $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} cos2α + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} sin2α$
ПЧ = $\frac{2}{2} cos2α + \frac{2}{2} sin2α = cos2α + sin2α$

Мы получили, что ЛЧ = $cos2α + sin2α$ и ПЧ = $cos2α + sin2α$.
Так как левая и правая части равны, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $cosα + cos(\frac{2\pi}{3} + α) + cos(\frac{2\pi}{3} - α) = 0$.
Рассмотрим сумму второго и третьего слагаемых в левой части: $cos(\frac{2\pi}{3} + α) + cos(\frac{2\pi}{3} - α)$.
Применим формулу преобразования суммы косинусов в произведение: $cosA + cosB = 2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$.
Пусть $A = \frac{2\pi}{3} + α$ и $B = \frac{2\pi}{3} - α$. Тогда:
$\frac{A+B}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3} + α + \frac{2\pi}{3} - α}{2} = \frac{\frac{4\pi}{3}}{2} = \frac{2\pi}{3}$
$\frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{2\pi}{3} + α) - (\frac{2\pi}{3} - α)}{2} = \frac{2α}{2} = α$
Следовательно, сумма косинусов равна:
$cos(\frac{2\pi}{3} + α) + cos(\frac{2\pi}{3} - α) = 2cos\frac{2\pi}{3} \cdot cosα$
Значение косинуса $cos\frac{2\pi}{3} = - \frac{1}{2}$.
Подставляем это значение:
$2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot cosα = -cosα$
Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат:
$cosα + (-cosα) = cosα - cosα = 0$
Левая часть равна 0, что совпадает с правой частью (0). Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{sin2α + sin5α - sin3α}{cosα + 1 - 2sin²2α} = 2sinα$.
Преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби в левой части.

Знаменатель (З):
З = $cosα + 1 - 2sin²2α$
Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2x) = 1 - 2sin²x$. Если взять $x=2α$, то получим $cos(4α) = 1 - 2sin²2α$.
Подставим это в выражение для знаменателя:
З = $cosα + cos(4α)$

Числитель (Ч):
Ч = $sin2α + sin5α - sin3α$
Перегруппируем слагаемые и применим формулу разности синусов $sinx - siny = 2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$ к паре $sin5α - sin3α$:
$sin5α - sin3α = 2cos\frac{5α+3α}{2}sin\frac{5α-3α}{2} = 2cos(4α)sin(α)$
Подставим полученное выражение обратно в числитель:
Ч = $sin2α + 2cos(4α)sin(α)$
Теперь используем формулу синуса двойного угла $sin2α = 2sinαcosα$:
Ч = $2sinαcosα + 2cos(4α)sin(α)$
Вынесем общий множитель $2sinα$ за скобки:
Ч = $2sinα(cosα + cos(4α))$

Дробь:
Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{Ч}{З} = \frac{2sinα(cosα + cos(4α))}{cosα + cos(4α)}$
При условии, что знаменатель $cosα + cos(4α) \ne 0$, мы можем сократить дробь на выражение $(cosα + cos(4α))$:
$\frac{2sinα(cosα + cos(4α))}{cosα + cos(4α)} = 2sinα$
Левая часть тождества после преобразований равна правой части ($2sinα$). Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

1100. Записать в виде произведения:

1) $\cos 22^\circ + \cos 24^\circ + \cos 26^\circ + \cos 28^\circ;$

2) $\cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{5\pi}{6}.$

1) Чтобы записать сумму $\cos 22^\circ + \cos 24^\circ + \cos 26^\circ + \cos 28^\circ$ в виде произведения, сгруппируем слагаемые: $(\cos 22^\circ + \cos 28^\circ) + (\cos 24^\circ + \cos 26^\circ)$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ к каждой группе.

Для первой группы: $\cos 22^\circ + \cos 28^\circ = 2 \cos \frac{22^\circ + 28^\circ}{2} \cos \frac{28^\circ - 22^\circ}{2} = 2 \cos 25^\circ \cos 3^\circ$.

Для второй группы: $\cos 24^\circ + \cos 26^\circ = 2 \cos \frac{24^\circ + 26^\circ}{2} \cos \frac{26^\circ - 24^\circ}{2} = 2 \cos 25^\circ \cos 1^\circ$.

Теперь исходное выражение можно записать так: $2 \cos 25^\circ \cos 3^\circ + 2 \cos 25^\circ \cos 1^\circ$.

Вынесем общий множитель $2 \cos 25^\circ$ за скобки: $2 \cos 25^\circ (\cos 3^\circ + \cos 1^\circ)$.

Снова применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках: $\cos 3^\circ + \cos 1^\circ = 2 \cos \frac{3^\circ + 1^\circ}{2} \cos \frac{3^\circ - 1^\circ}{2} = 2 \cos 2^\circ \cos 1^\circ$.

Подставим полученный результат в основное выражение: $2 \cos 25^\circ (2 \cos 2^\circ \cos 1^\circ) = 4 \cos 1^\circ \cos 2^\circ \cos 25^\circ$.

Ответ: $4 \cos 1^\circ \cos 2^\circ \cos 25^\circ$.

2) Рассмотрим выражение $\cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{5\pi}{6}$.

Сгруппируем первые два слагаемых $(\cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{4})$ и применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$. Для удобства приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}$.

$\cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{3\pi}{12} = 2 \cos \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = 2 \cos \frac{4\pi/12}{2} \cos \frac{2\pi/12}{2} = 2 \cos \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{12}$.

Выражение принимает вид: $2 \cos \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{6}$.

Подставим известные значения тригонометрических функций: $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos \frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Получаем: $2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки: $\sqrt{3} (\cos \frac{\pi}{12} - \frac{1}{2})$.

Заменим $\frac{1}{2}$ на $\cos \frac{\pi}{3}$: $\sqrt{3} (\cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{3})$.

К выражению в скобках применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$.

$\cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{3} = -2 \sin \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{12}}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{12} - \frac{4\pi}{12}}{2} = -2 \sin \frac{5\pi}{24} \sin(-\frac{3\pi}{24}) = -2 \sin \frac{5\pi}{24} \sin(-\frac{\pi}{8})$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем: $2 \sin \frac{5\pi}{24} \sin \frac{\pi}{8}$.

Окончательный результат: $\sqrt{3} \cdot (2 \sin \frac{5\pi}{24} \sin \frac{\pi}{8}) = 2\sqrt{3} \sin \frac{5\pi}{24} \sin \frac{\pi}{8}$.

Ответ: $2\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{5\pi}{24}$.

1101. Доказать тождество $tg \alpha + tg \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$ и вычислить:

1) $tg 267^\circ + tg 93^\circ$;

2) $tg \frac{5\pi}{12} + tg \frac{7\pi}{12}$.

Докажем тождество $\tg\alpha + \tg\beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Используем определение тангенса: $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

$\tg\alpha + \tg\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\cos\alpha\cos\beta$:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$

В числителе получилась формула синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

Подставим ее в наше выражение:

$\frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Таким образом, мы получили, что левая часть равна правой. Тождество доказано.

Теперь вычислим значения выражений, используя доказанное тождество.

1) $\tg 267^\circ + \tg 93^\circ$

Воспользуемся формулой $\tg\alpha + \tg\beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$, где $\alpha = 267^\circ$ и $\beta = 93^\circ$.

$\tg 267^\circ + \tg 93^\circ = \frac{\sin(267^\circ + 93^\circ)}{\cos 267^\circ \cos 93^\circ}$

Найдем сумму углов в числителе: $267^\circ + 93^\circ = 360^\circ$.

$\frac{\sin(360^\circ)}{\cos 267^\circ \cos 93^\circ}$

Значение синуса $360^\circ$ равно 0 ($\sin 360^\circ = 0$). Знаменатель не равен нулю, так как $\cos 267^\circ \neq 0$ и $\cos 93^\circ \neq 0$.

Следовательно, все выражение равно 0.

$\frac{0}{\cos 267^\circ \cos 93^\circ} = 0$

Ответ: 0.

2) $\tg\frac{5\pi}{12} + \tg\frac{7\pi}{12}$

Применим ту же формулу, где $\alpha = \frac{5\pi}{12}$ и $\beta = \frac{7\pi}{12}$.

$\tg\frac{5\pi}{12} + \tg\frac{7\pi}{12} = \frac{\sin(\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12})}{\cos(\frac{5\pi}{12}) \cos(\frac{7\pi}{12})}$

Найдем сумму углов в числителе: $\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} = \pi$.

$\frac{\sin(\pi)}{\cos(\frac{5\pi}{12}) \cos(\frac{7\pi}{12})}$

Значение синуса $\pi$ равно 0 ($\sin \pi = 0$). Знаменатель не равен нулю, так как углы $\frac{5\pi}{12}$ и $\frac{7\pi}{12}$ не равны $\frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - целое число.

Следовательно, все выражение равно 0.

$\frac{0}{\cos(\frac{5\pi}{12}) \cos(\frac{7\pi}{12})} = 0$

Ответ: 0.

1102. Разложить на множители:

1) $1 - \cos \alpha + \sin \alpha$;

2) $1 - 2\cos \alpha + \cos 2\alpha$;

3) $1 + \sin \alpha - \cos \alpha - \operatorname{tg} \alpha$;

4) $1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \operatorname{tg} \alpha$.

1) Для разложения выражения $1 - \cos\alpha + \sin\alpha$ на множители, сгруппируем $1 - \cos\alpha$ и воспользуемся формулами половинного угла. Используем тождества $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$ и $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$. Подставим их в исходное выражение:
$(1 - \cos\alpha) + \sin\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$.
Вынесем общий множитель $2\sin\frac{\alpha}{2}$ за скобки:
$2\sin\frac{\alpha}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})$.
Для дальнейшего упрощения можно преобразовать сумму в скобках, используя метод вспомогательного угла: $\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4})$.
В итоге получаем: $2\sin\frac{\alpha}{2} \cdot \sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4})$.
Ответ: $2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4})$.

2) Для разложения выражения $1 - 2\cos\alpha + \cos2\alpha$, сгруппируем первый и третий члены: $(1 + \cos2\alpha) - 2\cos\alpha$. Применим формулу косинуса двойного угла $1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha$.
Выражение примет вид: $2\cos^2\alpha - 2\cos\alpha$.
Вынесем общий множитель $2\cos\alpha$ за скобки: $2\cos\alpha(\cos\alpha - 1)$.
Можно также преобразовать множитель $(\cos\alpha - 1)$, используя формулу $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$, что дает $\cos\alpha - 1 = -2\sin^2\frac{\alpha}{2}$.
Тогда итоговое выражение: $2\cos\alpha(-2\sin^2\frac{\alpha}{2}) = -4\cos\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}$.
Ответ: $-4\cos\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}$.

3) Чтобы разложить на множители $1 + \sin\alpha - \cos\alpha - \tan\alpha$, заменим $\tan\alpha$ на $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (при условии $\cos\alpha \neq 0$):
$1 + \sin\alpha - \cos\alpha - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Сгруппируем члены: $(1 - \cos\alpha) + (\sin\alpha - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})$.
Вынесем $\sin\alpha$ за скобку во второй группе: $(1 - \cos\alpha) + \sin\alpha(1 - \frac{1}{\cos\alpha})$.
Приведем выражение во второй скобке к общему знаменателю: $(1 - \cos\alpha) + \sin\alpha(\frac{\cos\alpha - 1}{\cos\alpha})$.
Так как $\cos\alpha - 1 = -(1 - \cos\alpha)$, получаем: $(1 - \cos\alpha) - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(1 - \cos\alpha)$.
Теперь вынесем общий множитель $(1 - \cos\alpha)$: $(1 - \cos\alpha)(1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})$.
Заменив дробь обратно на тангенс, получим: $(1 - \cos\alpha)(1 - \tan\alpha)$.
Ответ: $(1 - \cos\alpha)(1 - \tan\alpha)$.

4) Чтобы разложить на множители $1 + \sin\alpha + \cos\alpha + \tan\alpha$, заменим $\tan\alpha$ на $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (при условии $\cos\alpha \neq 0$):
$1 + \sin\alpha + \cos\alpha + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Сгруппируем члены: $(1 + \cos\alpha) + (\sin\alpha + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})$.
Вынесем $\sin\alpha$ за скобку во второй группе: $(1 + \cos\alpha) + \sin\alpha(1 + \frac{1}{\cos\alpha})$.
Приведем выражение во второй скобке к общему знаменателю: $(1 + \cos\alpha) + \sin\alpha(\frac{\cos\alpha + 1}{\cos\alpha})$.
Вынесем общий множитель $(1 + \cos\alpha)$: $(1 + \cos\alpha)(1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})$.
Заменив дробь обратно на тангенс, получим: $(1 + \cos\alpha)(1 + \tan\alpha)$.
Ответ: $(1 + \cos\alpha)(1 + \tan\alpha)$.