Номер 1094, страница 314 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1094. Упростить выражение:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)+\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)$;

2) $\cos\left(\frac{\pi}{4}-\beta\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}+\beta\right)$;

3) $\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)$;

4) $\cos^2\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)-\cos^2\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$.

1) Для упрощения выражения $sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) + sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)$ воспользуемся формулой суммы синусов: $sin(x) + sin(y) = 2 sin(\frac{x+y}{2}) cos(\frac{x-y}{2})$.
В нашем случае $x = \frac{\pi}{3} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3} - \alpha$.
Найдем полусумму и полуразность аргументов:
$\frac{x+y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) + (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$
$\frac{x-y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) - (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$
Подставим найденные значения в формулу:
$2 sin(\frac{\pi}{3}) cos(\alpha)$
Зная, что $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} cos(\alpha) = \sqrt{3} cos(\alpha)$.
Ответ: $\sqrt{3}cos(\alpha)$.

2) Для упрощения выражения $cos(\frac{\pi}{4} - \beta) - cos(\frac{\pi}{4} + \beta)$ воспользуемся формулой разности косинусов: $cos(x) - cos(y) = -2 sin(\frac{x+y}{2}) sin(\frac{x-y}{2})$.
В нашем случае $x = \frac{\pi}{4} - \beta$ и $y = \frac{\pi}{4} + \beta$.
Найдем полусумму и полуразность аргументов:
$\frac{x+y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} - \beta) + (\frac{\pi}{4} + \beta)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{4}$
$\frac{x-y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} - \beta) - (\frac{\pi}{4} + \beta)}{2} = \frac{-2\beta}{2} = -\beta$
Подставим найденные значения в формулу:
$-2 sin(\frac{\pi}{4}) sin(-\beta)$
Так как $sin(-\beta) = -sin(\beta)$, выражение преобразуется к виду:
$-2 sin(\frac{\pi}{4}) (-sin(\beta)) = 2 sin(\frac{\pi}{4}) sin(\beta)$
Зная, что $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} sin(\beta) = \sqrt{2} sin(\beta)$.
Ответ: $\sqrt{2}sin(\beta)$.

3) Для упрощения выражения $sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) - sin^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ применим формулу разности квадратов синусов: $sin^2(A) - sin^2(B) = sin(A+B)sin(A-B)$.
Пусть $A = \frac{\pi}{4} + \alpha$ и $B = \frac{\pi}{4} - \alpha$.
Тогда сумма и разность аргументов равны:
$A+B = (\frac{\pi}{4} + \alpha) + (\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
$A-B = (\frac{\pi}{4} + \alpha) - (\frac{\pi}{4} - \alpha) = 2\alpha$
Подставим эти значения в формулу:
$sin(\frac{\pi}{2})sin(2\alpha)$
Так как $sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, итоговое выражение равно:
$1 \cdot sin(2\alpha) = sin(2\alpha)$.
Ответ: $sin(2\alpha)$.

4) Для упрощения выражения $cos^2(\alpha - \frac{\pi}{4}) - cos^2(\alpha + \frac{\pi}{4})$ используем формулу понижения степени $cos^2(x) = \frac{1+cos(2x)}{2}$.
$cos^2(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1+cos(2(\alpha - \frac{\pi}{4}))}{2} = \frac{1+cos(2\alpha - \frac{\pi}{2})}{2}$
$cos^2(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1+cos(2(\alpha + \frac{\pi}{4}))}{2} = \frac{1+cos(2\alpha + \frac{\pi}{2})}{2}$
Вычтем второе из первого:
$\frac{1+cos(2\alpha - \frac{\pi}{2})}{2} - \frac{1+cos(2\alpha + \frac{\pi}{2})}{2} = \frac{1+cos(2\alpha - \frac{\pi}{2}) - 1 - cos(2\alpha + \frac{\pi}{2})}{2} = \frac{cos(2\alpha - \frac{\pi}{2}) - cos(2\alpha + \frac{\pi}{2})}{2}$
Применим формулы приведения: $cos(x - \frac{\pi}{2}) = sin(x)$ и $cos(x + \frac{\pi}{2}) = -sin(x)$.
$\frac{sin(2\alpha) - (-sin(2\alpha))}{2} = \frac{sin(2\alpha) + sin(2\alpha)}{2} = \frac{2sin(2\alpha)}{2} = sin(2\alpha)$.
Ответ: $sin(2\alpha)$.