Номер 1100, страница 314 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1100. Записать в виде произведения:

1) $\cos 22^\circ + \cos 24^\circ + \cos 26^\circ + \cos 28^\circ;$

2) $\cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{5\pi}{6}.$

1) Чтобы записать сумму $\cos 22^\circ + \cos 24^\circ + \cos 26^\circ + \cos 28^\circ$ в виде произведения, сгруппируем слагаемые: $(\cos 22^\circ + \cos 28^\circ) + (\cos 24^\circ + \cos 26^\circ)$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ к каждой группе.

Для первой группы: $\cos 22^\circ + \cos 28^\circ = 2 \cos \frac{22^\circ + 28^\circ}{2} \cos \frac{28^\circ - 22^\circ}{2} = 2 \cos 25^\circ \cos 3^\circ$.

Для второй группы: $\cos 24^\circ + \cos 26^\circ = 2 \cos \frac{24^\circ + 26^\circ}{2} \cos \frac{26^\circ - 24^\circ}{2} = 2 \cos 25^\circ \cos 1^\circ$.

Теперь исходное выражение можно записать так: $2 \cos 25^\circ \cos 3^\circ + 2 \cos 25^\circ \cos 1^\circ$.

Вынесем общий множитель $2 \cos 25^\circ$ за скобки: $2 \cos 25^\circ (\cos 3^\circ + \cos 1^\circ)$.

Снова применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках: $\cos 3^\circ + \cos 1^\circ = 2 \cos \frac{3^\circ + 1^\circ}{2} \cos \frac{3^\circ - 1^\circ}{2} = 2 \cos 2^\circ \cos 1^\circ$.

Подставим полученный результат в основное выражение: $2 \cos 25^\circ (2 \cos 2^\circ \cos 1^\circ) = 4 \cos 1^\circ \cos 2^\circ \cos 25^\circ$.

Ответ: $4 \cos 1^\circ \cos 2^\circ \cos 25^\circ$.

2) Рассмотрим выражение $\cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{5\pi}{6}$.

Сгруппируем первые два слагаемых $(\cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{\pi}{4})$ и применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$. Для удобства приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}$.

$\cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{3\pi}{12} = 2 \cos \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{12}}{2} = 2 \cos \frac{4\pi/12}{2} \cos \frac{2\pi/12}{2} = 2 \cos \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{12}$.

Выражение принимает вид: $2 \cos \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{6}$.

Подставим известные значения тригонометрических функций: $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos \frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Получаем: $2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки: $\sqrt{3} (\cos \frac{\pi}{12} - \frac{1}{2})$.

Заменим $\frac{1}{2}$ на $\cos \frac{\pi}{3}$: $\sqrt{3} (\cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{3})$.

К выражению в скобках применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$.

$\cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{3} = -2 \sin \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{12}}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{12} - \frac{4\pi}{12}}{2} = -2 \sin \frac{5\pi}{24} \sin(-\frac{3\pi}{24}) = -2 \sin \frac{5\pi}{24} \sin(-\frac{\pi}{8})$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем: $2 \sin \frac{5\pi}{24} \sin \frac{\pi}{8}$.

Окончательный результат: $\sqrt{3} \cdot (2 \sin \frac{5\pi}{24} \sin \frac{\pi}{8}) = 2\sqrt{3} \sin \frac{5\pi}{24} \sin \frac{\pi}{8}$.

Ответ: $2\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{5\pi}{24}$.