Номер 1098, страница 314 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава VIII. Тригонометрические формулы. §12. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов - номер 1098, страница 314.

Условие.

1098. Упростить выражение:

1) $\frac{2(\cos \alpha + \cos 3\alpha)}{2\sin 2\alpha + \sin 4\alpha};$

2) $\frac{1 + \sin \alpha - \cos 2\alpha - \sin 3\alpha}{2\sin^2 \alpha + \sin \alpha - 1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Упростим данное выражение по частям. Сначала преобразуем числитель, используя формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} $:

$ 2(\cos\alpha + \cos3\alpha) = 2 \cdot (2 \cos\frac{\alpha+3\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-\alpha}{2}) = 4 \cos(2\alpha) \cos\alpha $.

Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, поэтому $ \sin(4\alpha) = \sin(2 \cdot 2\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $:

$ 2\sin2\alpha + \sin4\alpha = 2\sin2\alpha + 2\sin2\alpha\cos2\alpha = 2\sin2\alpha(1 + \cos2\alpha) $.

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $ 1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x $:

$ 2\sin2\alpha(1 + \cos2\alpha) = 2\sin2\alpha \cdot (2\cos^2\alpha) = 4\sin2\alpha\cos^2\alpha $.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{4 \cos(2\alpha) \cos\alpha}{4\sin2\alpha\cos^2\alpha} = \frac{\cos(2\alpha) \cos\alpha}{\sin2\alpha\cos^2\alpha} $.

Сократим дробь на $ \cos\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $):

$ \frac{\cos(2\alpha)}{\sin2\alpha\cos\alpha} $.

Это выражение можно также представить, раскрыв $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ \frac{\cos(2\alpha)}{(2\sin\alpha\cos\alpha)\cos\alpha} = \frac{\cos(2\alpha)}{2\sin\alpha\cos^2\alpha} $.

Ответ: $ \frac{\cos(2\alpha)}{\sin2\alpha\cos\alpha} $ или $ \frac{\cos(2\alpha)}{2\sin\alpha\cos^2\alpha} $.

2) Рассмотрим выражение $ \frac{1 + \sin\alpha - \cos2\alpha - \sin3\alpha}{2\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1} $.

Преобразуем числитель, сгруппировав слагаемые: $ (1 - \cos2\alpha) + (\sin\alpha - \sin3\alpha) $.

Используем тригонометрические формулы:

Формула косинуса двойного угла: $ 1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha $.

Формула разности синусов: $ \sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $.

$ \sin\alpha - \sin3\alpha = 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} = 2\cos(2\alpha)\sin(-\alpha) = -2\cos(2\alpha)\sin\alpha $.

Таким образом, числитель равен: $ 2\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos(2\alpha) = 2\sin\alpha(\sin\alpha - \cos(2\alpha)) $.

Теперь преобразуем выражение в скобках, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $:

$ \sin\alpha - \cos(2\alpha) = \sin\alpha - (1 - 2\sin^2\alpha) = 2\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1 $.

Мы видим, что это выражение совпадает со знаменателем исходной дроби.

Подставим это обратно в выражение для числителя:

Числитель: $ 2\sin\alpha(2\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1) $.

Теперь запишем всю дробь:

$ \frac{2\sin\alpha(2\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1)}{2\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1} $.

Сокращая дробь на $ (2\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1) $ (при условии, что это выражение не равно нулю), получаем:

$ 2\sin\alpha $.

Ответ: $ 2\sin\alpha $.