Номер 1099, страница 314 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1099. Доказать тождество:

1) $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha + \sin 2\alpha = \sqrt{2} \cos \left( 2\alpha - \frac{\pi}{4} \right);$

2) $\cos \alpha + \cos \left( \frac{2\pi}{3} + \alpha \right) + \cos \left( \frac{2\pi}{3} - \alpha \right) = 0;$

3) $\frac{\sin 2\alpha + \sin 5\alpha - \sin 3\alpha}{\cos \alpha + 1 - 2\sin^2 2\alpha} = 2\sin \alpha.$

1) Докажем тождество $cos⁴α - sin⁴α + sin2α = \sqrt{2}cos(2α - \frac{\pi}{4})$.
Преобразуем левую часть (ЛЧ) выражения. Сначала рассмотрим разность $cos⁴α - sin⁴α$.
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$cos⁴α - sin⁴α = (cos²α)² - (sin²α)² = (cos²α - sin²α)(cos²α + sin²α)$
Далее применяем основное тригонометрическое тождество $sin²α + cos²α = 1$ и формулу косинуса двойного угла $cos2α = cos²α - sin²α$:
$(cos²α - sin²α)(cos²α + sin²α) = cos2α \cdot 1 = cos2α$
Таким образом, вся левая часть приводится к виду:
ЛЧ = $cos2α + sin2α$

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ) выражения.
ПЧ = $\sqrt{2}cos(2α - \frac{\pi}{4})$
Используем формулу косинуса разности $cos(x-y) = cosx \cdot cosy + sinx \cdot siny$:
ПЧ = $\sqrt{2}(cos2α \cdot cos\frac{\pi}{4} + sin2α \cdot sin\frac{\pi}{4})$
Значения $cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставляем их в выражение:
ПЧ = $\sqrt{2}(cos2α \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + sin2α \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$
Раскрываем скобки:
ПЧ = $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} cos2α + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} sin2α$
ПЧ = $\frac{2}{2} cos2α + \frac{2}{2} sin2α = cos2α + sin2α$

Мы получили, что ЛЧ = $cos2α + sin2α$ и ПЧ = $cos2α + sin2α$.
Так как левая и правая части равны, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $cosα + cos(\frac{2\pi}{3} + α) + cos(\frac{2\pi}{3} - α) = 0$.
Рассмотрим сумму второго и третьего слагаемых в левой части: $cos(\frac{2\pi}{3} + α) + cos(\frac{2\pi}{3} - α)$.
Применим формулу преобразования суммы косинусов в произведение: $cosA + cosB = 2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$.
Пусть $A = \frac{2\pi}{3} + α$ и $B = \frac{2\pi}{3} - α$. Тогда:
$\frac{A+B}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3} + α + \frac{2\pi}{3} - α}{2} = \frac{\frac{4\pi}{3}}{2} = \frac{2\pi}{3}$
$\frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{2\pi}{3} + α) - (\frac{2\pi}{3} - α)}{2} = \frac{2α}{2} = α$
Следовательно, сумма косинусов равна:
$cos(\frac{2\pi}{3} + α) + cos(\frac{2\pi}{3} - α) = 2cos\frac{2\pi}{3} \cdot cosα$
Значение косинуса $cos\frac{2\pi}{3} = - \frac{1}{2}$.
Подставляем это значение:
$2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot cosα = -cosα$
Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат:
$cosα + (-cosα) = cosα - cosα = 0$
Левая часть равна 0, что совпадает с правой частью (0). Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{sin2α + sin5α - sin3α}{cosα + 1 - 2sin²2α} = 2sinα$.
Преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби в левой части.

Знаменатель (З):
З = $cosα + 1 - 2sin²2α$
Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2x) = 1 - 2sin²x$. Если взять $x=2α$, то получим $cos(4α) = 1 - 2sin²2α$.
Подставим это в выражение для знаменателя:
З = $cosα + cos(4α)$

Числитель (Ч):
Ч = $sin2α + sin5α - sin3α$
Перегруппируем слагаемые и применим формулу разности синусов $sinx - siny = 2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$ к паре $sin5α - sin3α$:
$sin5α - sin3α = 2cos\frac{5α+3α}{2}sin\frac{5α-3α}{2} = 2cos(4α)sin(α)$
Подставим полученное выражение обратно в числитель:
Ч = $sin2α + 2cos(4α)sin(α)$
Теперь используем формулу синуса двойного угла $sin2α = 2sinαcosα$:
Ч = $2sinαcosα + 2cos(4α)sin(α)$
Вынесем общий множитель $2sinα$ за скобки:
Ч = $2sinα(cosα + cos(4α))$

Дробь:
Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{Ч}{З} = \frac{2sinα(cosα + cos(4α))}{cosα + cos(4α)}$
При условии, что знаменатель $cosα + cos(4α) \ne 0$, мы можем сократить дробь на выражение $(cosα + cos(4α))$:
$\frac{2sinα(cosα + cos(4α))}{cosα + cos(4α)} = 2sinα$
Левая часть тождества после преобразований равна правой части ($2sinα$). Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.