Номер 1097, страница 314 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1097. Доказать тождество:

1) $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} = \operatorname{tg}2\alpha;$

2) $\frac{\sin\alpha + \sin4\alpha}{\cos2\alpha - \cos4\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha.$

1) Докажем тождество $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} = \text{tg}2\alpha$.

Для преобразования левой части тождества воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов:

$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби в левой части выражения.

Преобразуем числитель:

$\sin\alpha + \sin3\alpha = 2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin\frac{4\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = 2\sin(2\alpha)\cos(\alpha)$.

Преобразуем знаменатель:

$\cos\alpha + \cos3\alpha = 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos\frac{4\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = 2\cos(2\alpha)\cos(\alpha)$.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в левую часть тождества:

$\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} = \frac{2\sin(2\alpha)\cos(\alpha)}{2\cos(2\alpha)\cos(\alpha)}$

Сократим общие множители $2$ и $\cos(\alpha)$ (при условии, что $\cos(\alpha) \neq 0$ и $\cos(2\alpha) \neq 0$):

$\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \text{tg}(2\alpha)$

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Рассмотрим тождество $\frac{\sin\alpha + \sin4\alpha}{\cos2\alpha - \cos4\alpha} = \text{ctg}\alpha$.

Для преобразования левой части воспользуемся формулами суммы синусов и разности косинусов:

$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$

Преобразуем числитель дроби:

$\sin\alpha + \sin4\alpha = 2\sin\frac{\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-\alpha}{2} = 2\sin\frac{5\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}$.

Преобразуем знаменатель дроби:

$\cos2\alpha - \cos4\alpha = -2\sin\frac{2\alpha+4\alpha}{2}\sin\frac{2\alpha-4\alpha}{2} = -2\sin\frac{6\alpha}{2}\sin\frac{-2\alpha}{2} = -2\sin(3\alpha)(-\sin\alpha) = 2\sin(3\alpha)\sin(\alpha)$.

Подставив полученные выражения в левую часть, получаем:

$\frac{2\sin\frac{5\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}}{2\sin(3\alpha)\sin(\alpha)} = \frac{\sin\frac{5\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2}}{\sin(3\alpha)\sin(\alpha)}$

Данное выражение не упрощается до $\text{ctg}\alpha$. Следовательно, исходное тождество неверно. Вероятно, в условии задачи содержится опечатка. Наиболее вероятная опечатка — в числителе вместо $\sin\alpha$ должно быть $\sin2\alpha$.

Докажем исправленное тождество: $\frac{\sin2\alpha + \sin4\alpha}{\cos2\alpha - \cos4\alpha} = \text{ctg}\alpha$.

Преобразуем числитель исправленного выражения:

$\sin2\alpha + \sin4\alpha = 2\sin\frac{2\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\sin(3\alpha)\cos(\alpha)$.

Знаменатель мы уже преобразовали: $\cos2\alpha - \cos4\alpha = 2\sin(3\alpha)\sin(\alpha)$.

Подставим преобразованные части в исправленное тождество:

$\frac{2\sin(3\alpha)\cos(\alpha)}{2\sin(3\alpha)\sin(\alpha)}$

Сократим общие множители $2$ и $\sin(3\alpha)$ (при условии, что $\sin(3\alpha) \neq 0$ и $\sin(\alpha) \neq 0$):

$\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \text{ctg}(\alpha)$

Таким образом, левая часть равна правой, и исправленное тождество является верным.

Ответ: В предложенном виде тождество не является верным. Вероятно, в условии допущена опечатка. Если заменить в числителе $\sin\alpha$ на $\sin2\alpha$, то тождество $\frac{\sin2\alpha + \sin4\alpha}{\cos2\alpha - \cos4\alpha} = \text{ctg}\alpha$ доказывается.