Номер 1091, страница 310 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1091. Решить уравнение:

1) $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 1; $

2) $ \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = 1; $

3) $ \cos(x - \pi) = 0; $

4) $ \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 1; $

5) $ \sin(2x + 3\pi)\sin\left(3x + \frac{3\pi}{2}\right) - \sin 3x\cos 2x = -1; $

6) $ \sin\left(5x - \frac{3\pi}{2}\right)\cos(2x + 4\pi) - \sin(5x + \pi)\sin 2x = 0. $

1) Решим уравнение $cos(\frac{\pi}{2} - x) = 1$.
Воспользуемся формулой приведения $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.
В нашем случае, $cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$.
Уравнение принимает вид: $sin(x) = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение, частный случай. Его решением является серия корней:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$ (Z - множество целых чисел).
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

2) Решим уравнение $sin(\frac{3\pi}{2} + x) = 1$.
Применим формулу приведения $sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -cos(\alpha)$.
Тогда $sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -cos(x)$.
Подставим в исходное уравнение: $-cos(x) = 1$, что равносильно $cos(x) = -1$.
Это также частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение:
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.

3) Решим уравнение $cos(x - \pi) = 0$.
Используем свойство четности косинуса: $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.
$cos(x - \pi) = cos(-( \pi - x)) = cos(\pi - x)$.
Теперь применим формулу приведения $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$.
$cos(\pi - x) = -cos(x)$.
Уравнение сводится к виду $-cos(x) = 0$, или $cos(x) = 0$.
Решение этого уравнения:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

4) Решим уравнение $sin(x - \frac{\pi}{2}) = 1$.
Используем свойство нечетности синуса: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.
$sin(x - \frac{\pi}{2}) = -sin(\frac{\pi}{2} - x)$.
Применим формулу приведения $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha)$.
$-sin(\frac{\pi}{2} - x) = -cos(x)$.
Уравнение принимает вид: $-cos(x) = 1$, или $cos(x) = -1$.
Решение:
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.

5) Решим уравнение $sin(2x + 3\pi)sin(3x + \frac{3\pi}{2}) - sin(3x)cos(2x) = -1$.
Упростим выражения, используя периодичность и формулы приведения.
1. $sin(2x + 3\pi) = sin(2x + \pi + 2\pi) = sin(2x + \pi) = -sin(2x)$.
2. $sin(3x + \frac{3\pi}{2}) = -cos(3x)$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$(-sin(2x))(-cos(3x)) - sin(3x)cos(2x) = -1$
$sin(2x)cos(3x) - cos(2x)sin(3x) = -1$
Левая часть уравнения является формулой синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.
Применим ее, где $\alpha = 2x$, $\beta = 3x$:
$sin(2x - 3x) = -1$
$sin(-x) = -1$
Поскольку синус — нечетная функция, $sin(-x) = -sin(x)$:
$-sin(x) = -1$, что равносильно $sin(x) = 1$.
Решение:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

6) Решим уравнение $sin(5x - \frac{3\pi}{2})cos(2x + 4\pi) - sin(5x + \pi)sin(2x) = 0$.
Упростим выражения в уравнении.
1. $sin(5x - \frac{3\pi}{2})$. Используя периодичность, добавим $2\pi$: $sin(5x - \frac{3\pi}{2} + 2\pi) = sin(5x + \frac{\pi}{2})$. По формуле приведения $sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = cos(\alpha)$, получаем $cos(5x)$.
2. $cos(2x + 4\pi)$. Период косинуса $2\pi$, поэтому $cos(2x + 2 \cdot 2\pi) = cos(2x)$.
3. $sin(5x + \pi)$. По формуле приведения $sin(\alpha + \pi) = -sin(\alpha)$, получаем $-sin(5x)$.
Подставим в уравнение:
$cos(5x) \cdot cos(2x) - (-sin(5x)) \cdot sin(2x) = 0$
$cos(5x)cos(2x) + sin(5x)sin(2x) = 0$
Левая часть является формулой косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.
Применим ее, где $\alpha = 5x$, $\beta = 2x$:
$cos(5x - 2x) = 0$
$cos(3x) = 0$
Решаем простейшее уравнение:
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Выразим x:
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$.