Номер 1087, страница 310 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1087. Вычислить $\left(\frac{\operatorname{tg}^2 590^{\circ}}{\cos^2 320^{\circ}} + \frac{\sin 111^{\circ}}{\cos 1599^{\circ}}\right)\left(\frac{\cos 279^{\circ}}{\sin 549^{\circ}} + \frac{\operatorname{ctg}^2 950^{\circ}}{\sin^2 400^{\circ}}\right)$

Для решения данной задачи необходимо поочередно упростить выражения в каждой из скобок, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.

1. Упростим выражение в первой скобке: $\left(\frac{\text{tg}^2 590^\circ}{\cos^2 320^\circ} + \frac{\sin 111^\circ}{\cos 1599^\circ}\right)$

Сначала преобразуем каждый член выражения, используя периодичность функций (T($\text{tg}\alpha$) = $180^\circ$, T($\cos\alpha$) = $360^\circ$) и формулы приведения.

$\text{tg}^2 590^\circ = \text{tg}^2(3 \cdot 180^\circ + 50^\circ) = \text{tg}^2 50^\circ$.

$\cos^2 320^\circ = \cos^2(360^\circ - 40^\circ) = \cos^2(-40^\circ) = \cos^2 40^\circ$. Используя формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получаем $\cos^2 40^\circ = \cos^2(90^\circ - 50^\circ) = \sin^2 50^\circ$.

Таким образом, первый член в скобке равен: $\frac{\text{tg}^2 590^\circ}{\cos^2 320^\circ} = \frac{\text{tg}^2 50^\circ}{\sin^2 50^\circ} = \frac{\frac{\sin^2 50^\circ}{\cos^2 50^\circ}}{\sin^2 50^\circ} = \frac{1}{\cos^2 50^\circ}$.

Теперь преобразуем второй член:

$\sin 111^\circ = \sin(90^\circ + 21^\circ) = \cos 21^\circ$.

$\cos 1599^\circ = \cos(4 \cdot 360^\circ + 159^\circ) = \cos 159^\circ = \cos(180^\circ - 21^\circ) = -\cos 21^\circ$.

Второй член в скобке равен: $\frac{\sin 111^\circ}{\cos 1599^\circ} = \frac{\cos 21^\circ}{-\cos 21^\circ} = -1$.

Теперь сложим полученные значения, используя тождество $1+\text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$: $\frac{1}{\cos^2 50^\circ} - 1 = \text{tg}^2 50^\circ$.

Итак, выражение в первой скобке равно $\text{tg}^2 50^\circ$.

2. Упростим выражение во второй скобке: $\left(\frac{\cos 279^\circ}{\sin 549^\circ} + \frac{\text{ctg}^2 950^\circ}{\sin^2 400^\circ}\right)$

Сначала преобразуем каждый член выражения.

$\cos 279^\circ = \cos(270^\circ + 9^\circ) = \sin 9^\circ$.

$\sin 549^\circ = \sin(360^\circ + 189^\circ) = \sin 189^\circ = \sin(180^\circ + 9^\circ) = -\sin 9^\circ$.

Таким образом, первый член в скобке равен: $\frac{\cos 279^\circ}{\sin 549^\circ} = \frac{\sin 9^\circ}{-\sin 9^\circ} = -1$.

Теперь преобразуем второй член:

$\text{ctg}^2 950^\circ = \text{ctg}^2(5 \cdot 180^\circ + 50^\circ) = \text{ctg}^2 50^\circ$.

$\sin^2 400^\circ = \sin^2(360^\circ + 40^\circ) = \sin^2 40^\circ$. Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$, получаем $\sin^2 40^\circ = \sin^2(90^\circ - 50^\circ) = \cos^2 50^\circ$.

Второй член в скобке равен: $\frac{\text{ctg}^2 950^\circ}{\sin^2 400^\circ} = \frac{\text{ctg}^2 50^\circ}{\cos^2 50^\circ} = \frac{\frac{\cos^2 50^\circ}{\sin^2 50^\circ}}{\cos^2 50^\circ} = \frac{1}{\sin^2 50^\circ}$.

Теперь сложим полученные значения, используя тождество $1+\text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$: $-1 + \frac{1}{\sin^2 50^\circ} = \text{ctg}^2 50^\circ$.

Итак, выражение во второй скобке равно $\text{ctg}^2 50^\circ$.

3. Вычислим итоговое значение:

Перемножим результаты упрощения выражений в скобках: $(\text{tg}^2 50^\circ) \cdot (\text{ctg}^2 50^\circ) = (\text{tg} 50^\circ \cdot \text{ctg} 50^\circ)^2$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1$, получаем: $1^2 = 1$.

Ответ: 1.