Номер 1088, страница 310 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1088. Доказать, что синус суммы двух внутренних углов треугольника равен синусу его третьего угла.

Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — внутренние углы произвольного треугольника.

Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма всегда равна $180^\circ$. Математически это записывается так:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Нам необходимо доказать, что синус суммы двух любых внутренних углов равен синусу третьего угла. Для примера возьмем углы $\alpha$ и $\beta$. Требуется доказать, что $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\gamma)$.

Из равенства для суммы углов треугольника выразим сумму двух углов $\alpha + \beta$ через третий угол $\gamma$:

$\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$

Теперь найдем синус левой части этого равенства, который будет равен синусу правой части:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(180^\circ - \gamma)$

Для дальнейшего преобразования воспользуемся тригонометрической формулой приведения, которая гласит, что для любого угла $x$ выполняется равенство:

$\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$

Применив эту формулу к нашему выражению, где в качестве $x$ выступает угол $\gamma$, получим:

$\sin(180^\circ - \gamma) = \sin(\gamma)$

Таким образом, мы установили цепочку равенств: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(180^\circ - \gamma)$ и $\sin(180^\circ - \gamma) = \sin(\gamma)$. Из этого следует итоговое равенство:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin(\gamma)$

Поскольку выбор углов $\alpha$ и $\beta$ был произвольным, данное доказательство справедливо для любой пары внутренних углов треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для углов треугольника $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ выполняется равенство $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, из которого следует, что сумма двух углов $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$. Применяя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем $\sin(\alpha + \beta) = \sin(180^\circ - \gamma) = \sin(\gamma)$, что и доказывает равенство синуса суммы двух углов синусу третьего угла.