Номер 1084, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1084. Вычислить:

1) $\cos{\frac{23\pi}{4}} - \sin{\frac{15\pi}{4}} - \operatorname{ctg}\left(-\frac{11\pi}{2}\right);$

2) $\cos{\frac{25\pi}{3}} - \cos\left(-\frac{17\pi}{2}\right) - \operatorname{tg}\frac{10\pi}{3};$

3) $\sin(-7\pi) - 2\cos{\frac{31\pi}{3}} - \operatorname{tg}\frac{7\pi}{4};$

4) $\cos(-9\pi) + 2\sin\left(-\frac{49\pi}{6}\right) - \operatorname{ctg}\left(-\frac{21\pi}{4}\right).$

1) Вычислим значение выражения $\cos\frac{23\pi}{4} - \sin\frac{15\pi}{4} - \text{ctg}(-\frac{11\pi}{2})$.
Для этого упростим каждый член, используя периодичность и свойства четности/нечетности тригонометрических функций.

• $\cos\frac{23\pi}{4} = \cos(\frac{24\pi - \pi}{4}) = \cos(6\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4})$. Так как косинус — четная функция, $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $\sin\frac{15\pi}{4} = \sin(\frac{16\pi - \pi}{4}) = \sin(4\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4})$. Так как синус — нечетная функция, $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $\text{ctg}(-\frac{11\pi}{2})$. Так как котангенс — нечетная функция, $\text{ctg}(-\frac{11\pi}{2}) = -\text{ctg}(\frac{11\pi}{2})$. Упростим аргумент: $\frac{11\pi}{2} = \frac{10\pi+\pi}{2} = 5\pi + \frac{\pi}{2}$. Период котангенса равен $\pi$, поэтому $\text{ctg}(5\pi + \frac{\pi}{2}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$. Следовательно, $\text{ctg}(-\frac{11\pi}{2}) = 0$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

2) Вычислим значение выражения $\cos\frac{25\pi}{3} - \cos(-\frac{17\pi}{2}) - \text{tg}\frac{10\pi}{3}$.
Упростим каждый член выражения:

• $\cos\frac{25\pi}{3} = \cos(\frac{24\pi + \pi}{3}) = \cos(8\pi + \frac{\pi}{3})$. Используя периодичность косинуса ($2\pi$), получаем: $\cos(8\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
• $\cos(-\frac{17\pi}{2})$. Косинус — четная функция, поэтому $\cos(-\frac{17\pi}{2}) = \cos(\frac{17\pi}{2})$. Упростим аргумент: $\frac{17\pi}{2} = \frac{16\pi + \pi}{2} = 8\pi + \frac{\pi}{2}$. Тогда $\cos(8\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
• $\text{tg}\frac{10\pi}{3} = \text{tg}(\frac{9\pi + \pi}{3}) = \text{tg}(3\pi + \frac{\pi}{3})$. Период тангенса равен $\pi$, поэтому $\text{tg}(3\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:
$\frac{1}{2} - 0 - \sqrt{3} = \frac{1}{2} - \sqrt{3}$.
Ответ: $\frac{1}{2} - \sqrt{3}$.

3) Вычислим значение выражения $\sin(-7\pi) - 2\cos\frac{31\pi}{3} - \text{tg}\frac{7\pi}{4}$.
Упростим каждый член выражения:

• $\sin(-7\pi)$. Синус — нечетная функция, $\sin(-7\pi) = -\sin(7\pi)$. Так как $\sin(k\pi) = 0$ для любого целого $k$, то $\sin(7\pi) = 0$.
• $2\cos\frac{31\pi}{3}$. Вычислим $\cos\frac{31\pi}{3} = \cos(\frac{30\pi + \pi}{3}) = \cos(10\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Тогда $2\cos\frac{31\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
• $\text{tg}\frac{7\pi}{4} = \text{tg}(\frac{8\pi - \pi}{4}) = \text{tg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \text{tg}(-\frac{\pi}{4})$. Тангенс — нечетная функция, поэтому $\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:
$0 - 1 - (-1) = -1 + 1 = 0$.
Ответ: $0$.

4) Вычислим значение выражения $\cos(-9\pi) + 2\sin(-\frac{49\pi}{6}) - \text{ctg}(-\frac{21\pi}{4})$.
Упростим каждый член выражения:

• $\cos(-9\pi)$. Косинус — четная функция, $\cos(-9\pi) = \cos(9\pi)$. Так как $\cos(k\pi) = (-1)^k$ для любого целого $k$, то $\cos(9\pi) = -1$.
• $2\sin(-\frac{49\pi}{6})$. Синус — нечетная функция, поэтому $2\sin(-\frac{49\pi}{6}) = -2\sin(\frac{49\pi}{6})$. Упростим аргумент: $\frac{49\pi}{6} = \frac{48\pi + \pi}{6} = 8\pi + \frac{\pi}{6}$. Тогда $\sin(\frac{49\pi}{6}) = \sin(8\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Значит, $-2\sin(\frac{49\pi}{6}) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$.
• $\text{ctg}(-\frac{21\pi}{4})$. Котангенс — нечетная функция, $\text{ctg}(-\frac{21\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{21\pi}{4})$. Упростим аргумент: $\frac{21\pi}{4} = \frac{20\pi + \pi}{4} = 5\pi + \frac{\pi}{4}$. Период котангенса равен $\pi$, поэтому $\text{ctg}(5\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Следовательно, $-\text{ctg}(\frac{21\pi}{4}) = -1$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:
$-1 + (-1) - (-1) = -1 - 1 + 1 = -1$.
Ответ: $-1$.