Номер 1077, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1077. Найти значение острого угла $\alpha$, при котором выполняется равенство:

1) $\sin 150^{\circ} = \sin(90^{\circ} + \alpha)$;

2) $\cos 310^{\circ} = \cos(270^{\circ} + \alpha)$;

3) $\operatorname{tg}\frac{\pi}{5} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$;

4) $\operatorname{ctg}\frac{11}{6}\pi = \operatorname{ctg}(2\pi - \alpha)$.

1) Дано равенство $ \sin 150^\circ = \sin(90^\circ + \alpha) $. По условию, $ \alpha $ - острый угол, то есть $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $.
Воспользуемся формулами приведения.
Для левой части равенства: $ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ $.
Для правой части равенства: $ \sin(90^\circ + \alpha) $. Так как угол $ 90^\circ $ находится на вертикальной оси, синус меняется на косинус. Угол $ 90^\circ + \alpha $ находится во второй четверти, где синус положителен. Поэтому $ \sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha $.
Получаем уравнение: $ \sin 30^\circ = \cos \alpha $.
Мы знаем, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.
Значит, $ \cos \alpha = \frac{1}{2} $.
Так как $ \alpha $ - острый угол, единственное решение этого уравнения - $ \alpha = 60^\circ $.
Ответ: $ \alpha = 60^\circ $.

2) Дано равенство $ \cos 310^\circ = \cos(270^\circ + \alpha) $. По условию, $ \alpha $ - острый угол, $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $.
Применим формулы приведения.
Для левой части: $ \cos 310^\circ = \cos(360^\circ - 50^\circ) = \cos 50^\circ $.
Для правой части: $ \cos(270^\circ + \alpha) $. Так как угол $ 270^\circ $ находится на вертикальной оси, косинус меняется на синус. Угол $ 270^\circ + \alpha $ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Поэтому $ \cos(270^\circ + \alpha) = \sin \alpha $.
Получаем уравнение: $ \cos 50^\circ = \sin \alpha $.
Используя формулу приведения $ \cos x = \sin(90^\circ - x) $, заменим $ \cos 50^\circ $:
$ \cos 50^\circ = \sin(90^\circ - 50^\circ) = \sin 40^\circ $.
Тогда уравнение принимает вид: $ \sin 40^\circ = \sin \alpha $.
Поскольку $ \alpha $ - острый угол, отсюда следует, что $ \alpha = 40^\circ $.
Ответ: $ \alpha = 40^\circ $.

3) Дано равенство $ \text{tg}\frac{\pi}{5} = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. По условию, $ \alpha $ - острый угол, то есть $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.
Воспользуемся формулами приведения.
Для правой части равенства: $ \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. Так как угол $ \frac{\pi}{2} $ находится на вертикальной оси, тангенс меняется на котангенс. Угол $ \frac{\pi}{2} - \alpha $ находится в первой четверти (поскольку $ \alpha $ - острый), где тангенс положителен. Поэтому $ \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg} \, \alpha $.
Получаем уравнение: $ \text{tg}\frac{\pi}{5} = \text{ctg} \, \alpha $.
Используя формулу приведения $ \text{tg} \, x = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - x) $, заменим $ \text{tg}\frac{\pi}{5} $:
$ \text{tg}\frac{\pi}{5} = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \text{ctg}(\frac{5\pi - 2\pi}{10}) = \text{ctg}\frac{3\pi}{10} $.
Тогда уравнение принимает вид: $ \text{ctg}\frac{3\pi}{10} = \text{ctg} \, \alpha $.
Так как $ \alpha $ - острый угол, и $ \frac{3\pi}{10} $ также является острым углом ($ 0 < \frac{3\pi}{10} < \frac{5\pi}{10}=\frac{\pi}{2} $), то $ \alpha = \frac{3\pi}{10} $.
Ответ: $ \alpha = \frac{3\pi}{10} $.

4) Дано равенство $ \text{ctg}\frac{11\pi}{6} = \text{ctg}(2\pi - \alpha) $. По условию, $ \alpha $ - острый угол, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.
Упростим обе части равенства, используя периодичность и свойства нечетности котангенса.
Период котангенса равен $ \pi $.
Для левой части: $ \text{ctg}\frac{11\pi}{6} = \text{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) $. Поскольку котангенс - нечетная функция ($ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x) $), то $ \text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{6} $.
Для правой части: $ \text{ctg}(2\pi - \alpha) = \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg} \, \alpha $.
Подставляем упрощенные выражения в исходное равенство:
$ -\text{ctg}\frac{\pi}{6} = -\text{ctg} \, \alpha $.
Умножив обе части на -1, получаем: $ \text{ctg}\frac{\pi}{6} = \text{ctg} \, \alpha $.
Так как $ \alpha $ - острый угол, и $ \frac{\pi}{6} $ также является острым углом, отсюда следует, что $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.
Ответ: $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.