Номер 1074, страница 305 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1074. Решить уравнение:

1) $1 - \cos x = 2\sin\frac{x}{2};$

2) $1 + \cos x = 2\cos\frac{x}{2};$

3) $1 + \cos\frac{x}{2} = 2\sin\left(\frac{x}{4} - \frac{3\pi}{2}\right);$

4) $1 + \cos 8x = 2\cos 4x;$

5) $2\sin^2\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x = 1;$

6) $2\cos^2 x - \frac{1}{2}\sin 4x = 1.$

1) $1 - \cos x = 2\sin\frac{x}{2}$
Используем формулу понижения степени (или формулу косинуса двойного угла в виде $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha $): $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$2\sin^2\frac{x}{2} = 2\sin\frac{x}{2}$
Перенесем все в левую часть и разделим на 2:
$\sin^2\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} = 0$
Вынесем общий множитель $\sin\frac{x}{2}$ за скобки:
$\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2} - 1\right) = 0$
Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:
а) $\sin\frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = 2\pi k$
б) $\sin\frac{x}{2} - 1 = 0 \implies \sin\frac{x}{2} = 1$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \pi + 4\pi n$
Ответ: $x = 2\pi k, \quad x = \pi + 4\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $1 + \cos x = 2\cos\frac{x}{2}$
Используем формулу понижения степени (или формулу косинуса двойного угла в виде $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $): $1 + \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$2\cos^2\frac{x}{2} = 2\cos\frac{x}{2}$
Перенесем все в левую часть и разделим на 2:
$\cos^2\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2} = 0$
Вынесем общий множитель $\cos\frac{x}{2}$ за скобки:
$\cos\frac{x}{2}\left(\cos\frac{x}{2} - 1\right) = 0$
Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю:
а) $\cos\frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \pi + 2\pi k$
б) $\cos\frac{x}{2} - 1 = 0 \implies \cos\frac{x}{2} = 1$
$\frac{x}{2} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = 4\pi n$
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, \quad x = 4\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $1 + \cos\frac{x}{2} = 2\sin\left(\frac{x}{4} - \frac{3\pi}{2}\right)$
Преобразуем левую часть по формуле $1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$:
$1 + \cos\frac{x}{2} = 2\cos^2\frac{x}{8}$ (опечатка в условии, вероятно должно быть $1+\cos x$). Предположим, что в условии опечатки нет и решаем как есть. Тогда левая часть равна $1 + \cos\frac{x}{2} = 2\cos^2\frac{x}{4}$.
Преобразуем правую часть, используя формулу приведения: $\sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2} - 2\pi) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos\alpha$.
Следовательно, $2\sin\left(\frac{x}{4} - \frac{3\pi}{2}\right) = 2\cos\frac{x}{4}$.
Уравнение принимает вид:
$2\cos^2\frac{x}{4} = 2\cos\frac{x}{4}$
Это уравнение аналогично предыдущему. Разделим на 2 и перенесем все влево:
$\cos^2\frac{x}{4} - \cos\frac{x}{4} = 0$
$\cos\frac{x}{4}\left(\cos\frac{x}{4} - 1\right) = 0$
а) $\cos\frac{x}{4} = 0$
$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = 2\pi + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
б) $\cos\frac{x}{4} = 1$
$\frac{x}{4} = 2\pi n \implies x = 8\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = 2\pi + 4\pi k, \quad x = 8\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

4) $1 + \cos 8x = 2\cos 4x$
Используем формулу $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$. Пусть $2\alpha = 8x$, тогда $\alpha = 4x$.
$2\cos^2(4x) = 2\cos(4x)$
$\cos^2(4x) - \cos(4x) = 0$
$\cos(4x)(\cos(4x) - 1) = 0$
а) $\cos(4x) = 0$
$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$
б) $\cos(4x) = 1$
$4x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad x = \frac{\pi n}{2}, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

5) $2\sin^2\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\sin 2x = 1$
Используем формулу $2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha)$. Для $\alpha = \frac{x}{2}$ получаем $2\sin^2\frac{x}{2} = 1 - \cos x$.
Подставим в уравнение:
$(1 - \cos x) + \frac{1}{2}\sin 2x = 1$
$-\cos x + \frac{1}{2}\sin 2x = 0$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$-\cos x + \frac{1}{2}(2\sin x \cos x) = 0$
$-\cos x + \sin x \cos x = 0$
Вынесем $\cos x$ за скобки:
$\cos x(-\1 + \sin x) = 0$
а) $\cos x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
б) $-1 + \sin x = 0 \implies \sin x = 1$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Вторая серия решений ($x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$) является подмножеством первой серии ($x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, при четных $k=2n$). Поэтому достаточно указать только первую серию решений.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

6) $2\cos^2 x - \frac{1}{2}\sin 4x = 1$
Используем формулу $2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha)$. Для $\alpha = x$ получаем $2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$.
Подставим в уравнение:
$(1 + \cos 2x) - \frac{1}{2}\sin 4x = 1$
$\cos 2x - \frac{1}{2}\sin 4x = 0$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Для $\alpha = 2x$ получаем $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$:
$\cos 2x - \frac{1}{2}(2\sin 2x \cos 2x) = 0$
$\cos 2x - \sin 2x \cos 2x = 0$
Вынесем $\cos 2x$ за скобки:
$\cos 2x(1 - \sin 2x) = 0$
а) $\cos 2x = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$
б) $1 - \sin 2x = 0 \implies \sin 2x = 1$
$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Вторая серия решений ($x = \frac{\pi}{4} + \pi n$) является подмножеством первой ($x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, при четных $k=2n$). Поэтому достаточно указать только первую серию.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.