Номер 1075, страница 305 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1075. Выяснить, существует ли такой угол α, что:

1) $ \cos^2 \alpha - \cos^2 25^\circ = \cos^2(45^\circ - \alpha) - \frac{1}{2}\sin2\alpha; $

2) $ \sin^2 \left(45^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) + \frac{1}{2}\sin\alpha = \cos^2 \frac{2\alpha}{4} + \cos130^\circ. $

1) Чтобы выяснить, существует ли такой угол $\alpha$, преобразуем обе части уравнения, используя тригонометрические формулы.

Воспользуемся формулой понижения степени $cos^2(x) = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

Преобразуем левую часть уравнения:

$cos^2\alpha - cos^2 25^\circ = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2} - \frac{1 + cos(2 \cdot 25^\circ)}{2} = \frac{1 + cos(2\alpha) - 1 - cos(50^\circ)}{2} = \frac{cos(2\alpha) - cos(50^\circ)}{2}$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения:

$cos^2(45^\circ - \alpha) - \frac{1}{2}sin(2\alpha) = \frac{1 + cos(2(45^\circ - \alpha))}{2} - \frac{1}{2}sin(2\alpha) = \frac{1 + cos(90^\circ - 2\alpha)}{2} - \frac{1}{2}sin(2\alpha)$.

Применим формулу приведения $cos(90^\circ - \beta) = sin(\beta)$:

$\frac{1 + sin(2\alpha)}{2} - \frac{1}{2}sin(2\alpha) = \frac{1 + sin(2\alpha) - sin(2\alpha)}{2} = \frac{1}{2}$.

Приравняем преобразованные левую и правую части:

$\frac{cos(2\alpha) - cos(50^\circ)}{2} = \frac{1}{2}$.

Умножим обе части на 2 и выразим $cos(2\alpha)$:

$cos(2\alpha) - cos(50^\circ) = 1$

$cos(2\alpha) = 1 + cos(50^\circ)$.

Проанализируем полученное равенство. Область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$, поэтому $cos(2\alpha) \le 1$ для любого действительного значения $\alpha$.

Рассмотрим правую часть. Угол $50^\circ$ находится в первой четверти, поэтому его косинус положителен: $cos(50^\circ) > 0$. Следовательно, $1 + cos(50^\circ) > 1$.

Получается, что левая часть уравнения ($cos(2\alpha)$) не может быть больше 1, а правая часть ($1 + cos(50^\circ)$) строго больше 1. Равенство невозможно ни при каком значении $\alpha$.

Ответ: не существует.

2) Преобразуем обе части данного уравнения, используя формулы понижения степени $sin^2(x) = \frac{1 - cos(2x)}{2}$ и $cos^2(x) = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

Преобразуем левую часть:

$sin^2(45^\circ - \frac{\alpha}{2}) + \frac{1}{2}sin\alpha = \frac{1 - cos(2(45^\circ - \frac{\alpha}{2}))}{2} + \frac{1}{2}sin\alpha = \frac{1 - cos(90^\circ - \alpha)}{2} + \frac{1}{2}sin\alpha$.

Используя формулу приведения $cos(90^\circ - \alpha) = sin\alpha$, левая часть упрощается:

$\frac{1 - sin\alpha}{2} + \frac{1}{2}sin\alpha = \frac{1 - sin\alpha + sin\alpha}{2} = \frac{1}{2}$.

Теперь преобразуем правую часть:

$cos^2\frac{\alpha}{4} + cos130^\circ = \frac{1 + cos(2 \cdot \frac{\alpha}{4})}{2} + cos130^\circ = \frac{1 + cos(\frac{\alpha}{2})}{2} + cos130^\circ$.

Приравняем полученные выражения для левой и правой частей:

$\frac{1}{2} = \frac{1 + cos(\frac{\alpha}{2})}{2} + cos130^\circ$.

Умножим все члены уравнения на 2:

$1 = 1 + cos(\frac{\alpha}{2}) + 2cos130^\circ$.

Упростим уравнение:

$0 = cos(\frac{\alpha}{2}) + 2cos130^\circ$

$cos(\frac{\alpha}{2}) = -2cos130^\circ$.

Используем формулу приведения $cos130^\circ = cos(180^\circ - 50^\circ) = -cos50^\circ$. Подставим это в уравнение:

$cos(\frac{\alpha}{2}) = -2(-cos50^\circ) = 2cos50^\circ$.

Оценим значение выражения в правой части. Известно, что $cos60^\circ = 0.5$. Так как функция $y=cos(x)$ является убывающей на отрезке $[0^\circ, 180^\circ]$, а $50^\circ < 60^\circ$, то $cos50^\circ > cos60^\circ = 0.5$.

Отсюда следует, что $2cos50^\circ > 2 \cdot 0.5 = 1$.

Мы получили уравнение $cos(\frac{\alpha}{2}) = 2cos50^\circ$, в котором левая часть не может превышать 1 (так как область значений косинуса $[-1, 1]$), а правая часть строго больше 1. Такое равенство невозможно.

Ответ: не существует.