Номер 1076, страница 305 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1076. Доказать тождество:

1) $ \frac{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha}{\sin 2\alpha + 2\sin \alpha \cos 2\alpha} = \operatorname{ctg} \alpha; $

2) $ \frac{1 - \sin \alpha - \cos 2\alpha + \sin 3\alpha}{\sin 2\alpha + 2\cos \alpha \cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha. $

1) Докажем тождество $ \frac{1 + \cos\alpha + \cos2\alpha + \cos3\alpha}{\sin2\alpha + 2\sin\alpha\cos2\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha $, преобразовав его левую часть.

Сначала преобразуем числитель. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $ (1 + \cos2\alpha) + (\cos\alpha + \cos3\alpha) $.

Используя формулу косинуса двойного угла $ 1 + \cos2x = 2\cos^2x $, получаем $ 1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha $.

Используя формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $, получаем $ \cos\alpha + \cos3\alpha = 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\cos\alpha $.

Таким образом, числитель можно записать в виде: $ 2\cos^2\alpha + 2\cos2\alpha\cos\alpha $. Вынесем общий множитель $ 2\cos\alpha $ за скобки: $ 2\cos\alpha(\cos\alpha + \cos2\alpha) $.

Теперь преобразуем знаменатель: $ \sin2\alpha + 2\sin\alpha\cos2\alpha $.

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin2x = 2\sin x \cos x $, получаем $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Знаменатель можно записать в виде: $ 2\sin\alpha\cos\alpha + 2\sin\alpha\cos2\alpha $. Вынесем общий множитель $ 2\sin\alpha $ за скобки: $ 2\sin\alpha(\cos\alpha + \cos2\alpha) $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{2\cos\alpha(\cos\alpha + \cos2\alpha)}{2\sin\alpha(\cos\alpha + \cos2\alpha)} $

Сократив дробь на общий множитель $ 2(\cos\alpha + \cos2\alpha) $ (при условии, что он не равен нулю), получаем:

$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha $

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Доказано.

2) Докажем тождество $ \frac{1 - \sin\alpha - \cos2\alpha + \sin3\alpha}{\sin2\alpha + 2\cos\alpha\cos2\alpha} = \operatorname{tg}\alpha $, преобразовав его левую часть.

Сначала преобразуем числитель. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $ (1 - \cos2\alpha) + (\sin3\alpha - \sin\alpha) $.

Используя формулу косинуса двойного угла $ 1 - \cos2x = 2\sin^2x $, получаем $ 1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha $.

Используя формулу разности синусов $ \sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $, получаем $ \sin3\alpha - \sin\alpha = 2\cos\frac{3\alpha+\alpha}{2}\sin\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\sin\alpha $.

Таким образом, числитель можно записать в виде: $ 2\sin^2\alpha + 2\cos2\alpha\sin\alpha $. Вынесем общий множитель $ 2\sin\alpha $ за скобки: $ 2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos2\alpha) $.

Теперь преобразуем знаменатель: $ \sin2\alpha + 2\cos\alpha\cos2\alpha $.

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin2x = 2\sin x \cos x $, получаем $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

Знаменатель можно записать в виде: $ 2\sin\alpha\cos\alpha + 2\cos\alpha\cos2\alpha $. Вынесем общий множитель $ 2\cos\alpha $ за скобки: $ 2\cos\alpha(\sin\alpha + \cos2\alpha) $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos2\alpha)}{2\cos\alpha(\sin\alpha + \cos2\alpha)} $

Сократив дробь на общий множитель $ 2(\sin\alpha + \cos2\alpha) $ (при условии, что он не равен нулю), получаем:

$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha $

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Доказано.