Номер 1079, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1079. 1) $ \operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} $;

2) $ \sin \frac{7\pi}{6} $;

3) $ \cos \frac{5\pi}{3} $;

4) $ \operatorname{ctg} \frac{5\pi}{3} $;

5) $ \sin \left(-\frac{13\pi}{6}\right) $;

6) $ \cos \left(-\frac{7\pi}{3}\right) $;

7) $ \operatorname{tg} \left(-\frac{2\pi}{3}\right) $;

8) $ \operatorname{ctg} \left(-\frac{7\pi}{4}\right) $.

1) Для вычисления значения $\text{tg}\frac{5\pi}{4}$ используем периодичность тангенса (период $\pi$) и формулы приведения. Представим угол $\frac{5\pi}{4}$ как $\pi + \frac{\pi}{4}$. Угол $\pi + \frac{\pi}{4}$ находится в III четверти, где тангенс положителен.
$\text{tg}\frac{5\pi}{4} = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$.
Ответ: 1

2) Для вычисления значения $\sin\frac{7\pi}{6}$ используем формулы приведения. Представим угол $\frac{7\pi}{6}$ как $\pi + \frac{\pi}{6}$. Угол $\pi + \frac{\pi}{6}$ находится в III четверти, где синус отрицателен.
$\sin\frac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

3) Для вычисления значения $\cos\frac{5\pi}{3}$ используем формулы приведения. Представим угол $\frac{5\pi}{3}$ как $2\pi - \frac{\pi}{3}$. Угол $2\pi - \frac{\pi}{3}$ находится в IV четверти, где косинус положителен.
$\cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Для вычисления значения $\text{ctg}\frac{5\pi}{3}$ используем формулы приведения. Представим угол $\frac{5\pi}{3}$ как $2\pi - \frac{\pi}{3}$. Угол $2\pi - \frac{\pi}{3}$ находится в IV четверти, где котангенс отрицателен.
$\text{ctg}\frac{5\pi}{3} = \text{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

5) Для вычисления значения $\sin(-\frac{13\pi}{6})$ используем свойство нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin(x)$) и его периодичность (период $2\pi$).
$\sin(-\frac{13\pi}{6}) = -\sin(\frac{13\pi}{6})$.
Представим угол $\frac{13\pi}{6}$ как $2\pi + \frac{\pi}{6}$.
$-\sin(\frac{13\pi}{6}) = -\sin(2\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

6) Для вычисления значения $\cos(-\frac{7\pi}{3})$ используем свойство четности косинуса ($\cos(-x) = \cos(x)$) и его периодичность (период $2\pi$).
$\cos(-\frac{7\pi}{3}) = \cos(\frac{7\pi}{3})$.
Представим угол $\frac{7\pi}{3}$ как $2\pi + \frac{\pi}{3}$.
$\cos(\frac{7\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

7) Для вычисления значения $\text{tg}(-\frac{2\pi}{3})$ используем свойство нечетности тангенса ($\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$) и формулы приведения.
$\text{tg}(-\frac{2\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{2\pi}{3})$.
Представим угол $\frac{2\pi}{3}$ как $\pi - \frac{\pi}{3}$.
$-\text{tg}(\frac{2\pi}{3}) = -\text{tg}(\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-\text{tg}\frac{\pi}{3}) = \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

8) Для вычисления значения $\text{ctg}(-\frac{7\pi}{4})$ используем свойство нечетности котангенса ($\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$) и формулы приведения.
$\text{ctg}(-\frac{7\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{7\pi}{4})$.
Представим угол $\frac{7\pi}{4}$ как $2\pi - \frac{\pi}{4}$.
$-\text{ctg}(\frac{7\pi}{4}) = -\text{ctg}(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -(-\text{ctg}\frac{\pi}{4}) = \text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$.
Ответ: 1