Номер 1073, страница 305 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1073. Упростить выражение $ \frac{\operatorname{tg} 2 \alpha}{\operatorname{tg} 4 \alpha - \operatorname{tg} 2 \alpha} $

Для упрощения данного выражения представим тангенсы через синусы и косинусы, а затем выполним преобразования.

Исходное выражение:

$$ \frac{\tg(2\alpha)}{\tg(4\alpha) - \tg(2\alpha)} $$

Заменим тангенсы в знаменателе, используя определение $ \tg(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $:

$$ \tg(4\alpha) - \tg(2\alpha) = \frac{\sin(4\alpha)}{\cos(4\alpha)} - \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} $$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $ \cos(4\alpha)\cos(2\alpha) $:

$$ \frac{\sin(4\alpha)\cos(2\alpha) - \cos(4\alpha)\sin(2\alpha)}{\cos(4\alpha)\cos(2\alpha)} $$

В числителе полученной дроби находится формула синуса разности углов: $ \sin(A-B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B) $. Применим ее для $ A = 4\alpha $ и $ B = 2\alpha $:

$$ \sin(4\alpha - 2\alpha) = \sin(2\alpha) $$

Таким образом, знаменатель исходного выражения преобразуется к виду:

$$ \tg(4\alpha) - \tg(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(4\alpha)\cos(2\alpha)} $$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$ \frac{\tg(2\alpha)}{\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(4\alpha)\cos(2\alpha)}} $$

Теперь заменим $ \tg(2\alpha) $ в числителе на $ \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} $:

$$ \frac{\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}}{\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(4\alpha)\cos(2\alpha)}} $$

Чтобы разделить дроби, умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:

$$ \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \cdot \frac{\cos(4\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} $$

Сократим одинаковые множители $ \sin(2\alpha) $ и $ \cos(2\alpha) $ (при условии, что они не равны нулю, что следует из области определения исходного выражения):

$$ \frac{\cancel{\sin(2\alpha)}}{\cancel{\cos(2\alpha)}} \cdot \frac{\cos(4\alpha)\cancel{\cos(2\alpha)}}{\cancel{\sin(2\alpha)}} = \cos(4\alpha) $$

В результате упрощения получаем $ \cos(4\alpha) $.

Ответ: $ \cos(4\alpha) $