Номер 1066, страница 304 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1066. Пусть $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Вычислить:

1) $\sin\frac{\alpha}{2}$;

2) $\cos\frac{\alpha}{2}$;

3) $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$;

4) $\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}$.

По условию задачи дано, что $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Сначала найдем значение $\cos\alpha$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.

$\cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

Так как угол $\alpha$ находится в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, он расположен во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен, поэтому:

$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

Теперь определим, в какой четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$. Разделив двойное неравенство для $\alpha$ на 2, получим:

$\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, а значит, его синус, косинус, тангенс и котангенс будут положительны.

1) $\sin \frac{\alpha}{2}$

Воспользуемся формулой синуса половинного угла: $\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$.

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{9}{5}}{2} = \frac{9}{10}$.

Так как $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\sin\frac{\alpha}{2}$ положителен. Поэтому:

$\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

2) $\cos \frac{\alpha}{2}$

Воспользуемся формулой косинуса половинного угла: $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$.

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{2} = \frac{1}{10}$.

Так как $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\cos\frac{\alpha}{2}$ положителен. Поэтому:

$\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$.

3) $\text{tg} \frac{\alpha}{2}$

Для нахождения тангенса половинного угла можно использовать отношение синуса к косинусу или специальную формулу. Используем отношение:

$\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}} = 3$.

Другой способ — использование формулы $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$:

$\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{\frac{3}{5}} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{\frac{9}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{9}{3} = 3$.

Ответ: $3$.

4) $\text{ctg} \frac{\alpha}{2}$

Котангенс — это величина, обратная тангенсу: $\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{tg}\frac{\alpha}{2}}$.

$\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.