Номер 1062, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1062. Доказать:

1) $ \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $;

2) $ \tan^2 36^\circ \cdot \tan^2 72^\circ = 5 $.

1)

Чтобы доказать, что $sin18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$, рассмотрим угол $\alpha = 18^\circ$.

Умножим этот угол на 5: $5\alpha = 5 \cdot 18^\circ = 90^\circ$.

Представим $5\alpha$ в виде суммы $2\alpha + 3\alpha$. Тогда $2\alpha + 3\alpha = 90^\circ$, откуда следует, что $2\alpha = 90^\circ - 3\alpha$.

Возьмем синус от обеих частей равенства:

$sin(2\alpha) = sin(90^\circ - 3\alpha)$

Используя формулу приведения $sin(90^\circ - x) = cos(x)$, получаем:

$sin(2\alpha) = cos(3\alpha)$

Теперь применим формулы синуса двойного угла и косинуса тройного угла:

$sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$

$cos(3\alpha) = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$

Подставим эти выражения в наше равенство:

$2sin\alpha cos\alpha = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$

Поскольку $\alpha = 18^\circ$, $cos\alpha = cos18^\circ \ne 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $cos\alpha$:

$2sin\alpha = 4cos^2\alpha - 3$

Используя основное тригонометрическое тождество $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$, заменим $cos^2\alpha$:

$2sin\alpha = 4(1 - sin^2\alpha) - 3$

$2sin\alpha = 4 - 4sin^2\alpha - 3$

$2sin\alpha = 1 - 4sin^2\alpha$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $sin\alpha$:

$4sin^2\alpha + 2sin\alpha - 1 = 0$

Сделаем замену $x = sin\alpha$:

$4x^2 + 2x - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Мы получили два возможных значения для $x = sin18^\circ$:

$x_1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ и $x_2 = \frac{-\sqrt{5} - 1}{4}$

Угол $18^\circ$ находится в первой четверти, поэтому его синус должен быть положительным. Значение $x_2$ отрицательно, поэтому оно не является решением. Единственное подходящее решение — это $x_1$.

Таким образом, $sin18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство завершено.

2)

Чтобы доказать тождество $tg^2{36^\circ} \cdot tg^2{72^\circ} = 5$, мы воспользуемся результатом, полученным в пункте 1, а также другими тригонометрическими формулами.

Сначала найдем выражения для $tg^2{36^\circ}$ и $tg^2{72^\circ}$.

Вычислим $cos(36^\circ)$ через $sin(18^\circ)$ по формуле косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2\alpha$:

$cos(36^\circ) = 1 - 2sin^2(18^\circ)$

Из пункта 1 мы знаем, что $sin18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$. Возведем это значение в квадрат:

$sin^2(18^\circ) = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{3 - \sqrt{5}}{8}$

Теперь подставим это в формулу для $cos(36^\circ)$:

$cos(36^\circ) = 1 - 2\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{8}\right) = 1 - \frac{3 - \sqrt{5}}{4} = \frac{4 - 3 + \sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$

Для нахождения $tg^2{36^\circ}$ нам понадобятся $sin^2{36^\circ}$ и $cos^2{36^\circ}$:

$cos^2(36^\circ) = \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2 = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{16} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{16} = \frac{3 + \sqrt{5}}{8}$

$sin^2(36^\circ) = 1 - cos^2(36^\circ) = 1 - \frac{3 + \sqrt{5}}{8} = \frac{8 - 3 - \sqrt{5}}{8} = \frac{5 - \sqrt{5}}{8}$

Теперь мы можем найти $tg^2{36^\circ}$:

$tg^2(36^\circ) = \frac{sin^2(36^\circ)}{cos^2(36^\circ)} = \frac{(5 - \sqrt{5})/8}{(3 + \sqrt{5})/8} = \frac{5 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - \sqrt{5})$:

$tg^2(36^\circ) = \frac{(5 - \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{15 - 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 5}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{20 - 8\sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{20 - 8\sqrt{5}}{4} = 5 - 2\sqrt{5}$

Далее найдем $tg^2{72^\circ}$. Используем формулу приведения: $tg(72^\circ) = tg(90^\circ - 18^\circ) = ctg(18^\circ)$.

Следовательно, $tg^2(72^\circ) = ctg^2(18^\circ) = \frac{cos^2(18^\circ)}{sin^2(18^\circ)}$.

Мы уже знаем $sin^2(18^\circ) = \frac{3 - \sqrt{5}}{8}$. Найдем $cos^2(18^\circ)$:

$cos^2(18^\circ) = 1 - sin^2(18^\circ) = 1 - \frac{3 - \sqrt{5}}{8} = \frac{8 - 3 + \sqrt{5}}{8} = \frac{5 + \sqrt{5}}{8}$

Теперь вычислим $tg^2(72^\circ)$:

$tg^2(72^\circ) = \frac{(5 + \sqrt{5})/8}{(3 - \sqrt{5})/8} = \frac{5 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на $(3 + \sqrt{5})$:

$tg^2(72^\circ) = \frac{(5 + \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{15 + 5\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \frac{20 + 8\sqrt{5}}{4} = 5 + 2\sqrt{5}$

Наконец, перемножим полученные выражения для $tg^2{36^\circ}$ и $tg^2{72^\circ}$:

$tg^2{36^\circ} \cdot tg^2{72^\circ} = (5 - 2\sqrt{5})(5 + 2\sqrt{5})$

Это произведение соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(5 - 2\sqrt{5})(5 + 2\sqrt{5}) = 5^2 - (2\sqrt{5})^2 = 25 - (4 \cdot 5) = 25 - 20 = 5$

Мы получили 5, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство завершено.