Номер 1057, страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1057. Доказать тождество:

1) $\frac{\cos 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha - 1;$

2) $\frac{\sin 2\alpha - 2\cos \alpha}{\sin \alpha - \sin^2 \alpha} = -2\operatorname{ctg}\alpha;$

3) $\operatorname{tg}\alpha(1 + \cos 2\alpha) = \sin 2\alpha;$

4) $\frac{1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha} \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1;$

5) $\frac{(1 - 2\cos^2 \alpha)(2\sin^2 \alpha - 1)}{4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \operatorname{ctg}^2 2\alpha;$

6) $1 - 2\sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \sin \alpha;$

7) $\frac{\sin \alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. В числителе используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. В знаменателе вынесем общий множитель $\sin\alpha$ за скобки.
$\frac{\cos(2\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)}$
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)}{\sin\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)}$
Сократим дробь на общий множитель $(\cos\alpha + \sin\alpha)$:
$\frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\sin\alpha}$
Разделим почленно числитель на знаменатель:
$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha - 1$
Левая часть тождества равна правой.
Ответ: тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества. В числителе применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и вынесем общий множитель. В знаменателе также вынесем общий множитель за скобки.
$\frac{\sin(2\alpha) - 2\cos\alpha}{\sin\alpha - \sin^2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha - 2\cos\alpha}{\sin\alpha(1 - \sin\alpha)} = \frac{2\cos\alpha(\sin\alpha - 1)}{\sin\alpha(1 - \sin\alpha)}$
Заметим, что $\sin\alpha - 1 = -(1 - \sin\alpha)$. Подставим это в числитель:
$\frac{-2\cos\alpha(1 - \sin\alpha)}{\sin\alpha(1 - \sin\alpha)}$
Сократим дробь на $(1 - \sin\alpha)$:
$\frac{-2\cos\alpha}{\sin\alpha} = -2\text{ctg}\alpha$
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть. Заменим $\text{tg}\alpha$ на $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и используем формулу для $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$.
$\text{tg}\alpha(1 + \cos(2\alpha)) = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot (2\cos^2\alpha)$
Сократим на $\cos\alpha$:
$2\sin\alpha\cos\alpha$
Это является формулой синуса двойного угла:
$2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

4) Преобразуем выражение в левой части. Используем формулы понижения степени: $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$ и $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$, а также формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
$\frac{1 - \cos(2\alpha) + \sin(2\alpha)}{1 + \cos(2\alpha) + \sin(2\alpha)} \cdot \text{ctg}\alpha = \frac{2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha} \cdot \text{ctg}\alpha$
Вынесем общие множители в числителе и знаменателе дроби:
$\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)} \cdot \text{ctg}\alpha$
Сократим дробь на $2$ и $(\sin\alpha + \cos\alpha)$:
$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \text{ctg}\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha$
Поскольку произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно 1, получаем:
$\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

5) Преобразуем левую часть. Для выражений в скобках в числителе используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$.
$1 - 2\cos^2\alpha = -(2\cos^2\alpha - 1) = -\cos(2\alpha)$
$2\sin^2\alpha - 1 = -(1 - 2\sin^2\alpha) = -\cos(2\alpha)$
Знаменатель $4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$ можно представить как $(2\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \sin^2(2\alpha)$.
Подставим преобразованные части в исходное выражение:
$\frac{(-\cos(2\alpha))(-\cos(2\alpha))}{\sin^2(2\alpha)} = \frac{\cos^2(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)}$
Полученное выражение является квадратом котангенса:
$\left(\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}\right)^2 = \text{ctg}^2(2\alpha)$
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

6) Преобразуем левую часть, используя формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2x = \cos(2x)$, где $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.
$1 - 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \cos\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\right)$
Упростим аргумент косинуса:
$\cos\left(\frac{2\pi}{4} - \frac{2\alpha}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$
Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$.
Таким образом, левая часть равна $\sin\alpha$, что и требовалось доказать.
Ответ: тождество доказано.

7) Преобразуем левую часть. В числителе используем формулу $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В знаменателе используем формулу $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.
$\frac{\sin\alpha + \sin(2\alpha)}{1 + \cos\alpha + \cos(2\alpha)} = \frac{\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + \cos\alpha + (2\cos^2\alpha - 1)}$
Упростим знаменатель и вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
$\frac{\sin\alpha(1 + 2\cos\alpha)}{\cos\alpha + 2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha(1 + 2\cos\alpha)}{\cos\alpha(1 + 2\cos\alpha)}$
Сократим дробь на общий множитель $(1 + 2\cos\alpha)$:
$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$
Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.