Номер 1053, страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Упростить выражение (1053—1054).

1053. 1) $2\cos40^\circ \cdot \cos50^\circ$; 2) $2\sin25^\circ \cdot \sin65^\circ$;

3) $\sin2\alpha + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2$; 4) $\cos4\alpha + \sin^2 2\alpha$.

1) Для упрощения выражения $2cos40° ⋅ cos50°$ воспользуемся формулой приведения $cos(90° - α) = sinα$. Преобразуем $cos50°$: $cos50° = cos(90° - 40°) = sin40°$. Подставив это в исходное выражение, получим $2cos40° ⋅ sin40°$. Далее применим формулу синуса двойного угла $sin(2α) = 2sinαcosα$, где $α = 40°$. Таким образом, $2sin40°cos40° = sin(2 ⋅ 40°) = sin80°$.
Ответ: $sin80°$

2) Для упрощения выражения $2sin25° ⋅ sin65°$ используем формулу приведения $sin(90° - α) = cosα$. Преобразуем $sin65°$: $sin65° = sin(90° - 25°) = cos25°$. Подставив это в исходное выражение, получим $2sin25° ⋅ cos25°$. Это выражение соответствует формуле синуса двойного угла $sin(2α) = 2sinαcosα$, где $α = 25°$. Таким образом, $2sin25°cos25° = sin(2 ⋅ 25°) = sin50°$.
Ответ: $sin50°$

3) Рассмотрим выражение $sin2α + (sinα - cosα)²$. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)² = a² - 2ab + b²$: $(sinα - cosα)² = sin²α - 2sinαcosα + cos²α$. Применим основное тригонометрическое тождество $sin²α + cos²α = 1$ и формулу синуса двойного угла $sin(2α) = 2sinαcosα$. Тогда $(sin²α + cos²α) - 2sinαcosα = 1 - sin(2α)$. Подставим полученное выражение в исходное: $sin(2α) + (1 - sin(2α)) = sin(2α) + 1 - sin(2α) = 1$.
Ответ: 1

4) В выражении $cos4α + sin²2α$ представим $cos4α$ через формулу косинуса двойного угла $cos(2θ) = 1 - 2sin²θ$. В нашем случае $θ = 2α$, поэтому $cos(4α) = cos(2 ⋅ 2α) = 1 - 2sin²(2α)$. Подставим это в исходное выражение: $(1 - 2sin²(2α)) + sin²(2α)$. Упрощаем, приводя подобные слагаемые: $1 - 2sin²(2α) + sin²(2α) = 1 - sin²(2α)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 - sin²θ = cos²θ$. Применив это для $θ = 2α$, получаем $1 - sin²(2α) = cos²(2α)$.
Ответ: $cos²(2α)$