Номер 1049, страница 301 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1049. 1) $2\sin 75^{\circ} \cdot \cos 75^{\circ}$;

2) $\cos^2 75^{\circ} - \sin^2 75^{\circ}$;

3) $\frac{6\text{tg}75^{\circ}}{1 - \text{tg}^275^{\circ}}$;

4) $\frac{\text{tg}^222^{\circ}30' - 1}{\text{tg}22^{\circ}30'}$.

1) Данное выражение $2\sin 75^\circ \cdot \cos 75^\circ$ соответствует формуле синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В нашем случае, $\alpha = 75^\circ$. Применяя формулу, получаем: $2\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \sin(2 \cdot 75^\circ) = \sin(150^\circ)$. Чтобы найти значение $\sin(150^\circ)$, воспользуемся формулой приведения: $\sin(180^\circ - \beta) = \sin\beta$. $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$. Значение синуса 30 градусов является табличным: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Выражение $\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ$ является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Здесь $\alpha = 75^\circ$. Подставим значение в формулу: $\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = \cos(2 \cdot 75^\circ) = \cos(150^\circ)$. Для вычисления $\cos(150^\circ)$ используем формулу приведения: $\cos(180^\circ - \beta) = -\cos\beta$. $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ)$. Табличное значение косинуса 30 градусов: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) Рассмотрим выражение $\frac{6\tan 75^\circ}{1 - \tan^2 75^\circ}$. Оно похоже на формулу тангенса двойного угла: $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$. Преобразуем исходное выражение, вынеся множитель 3: $\frac{6\tan 75^\circ}{1 - \tan^2 75^\circ} = 3 \cdot \frac{2\tan 75^\circ}{1 - \tan^2 75^\circ}$. В данном случае $\alpha = 75^\circ$. Часть выражения после множителя 3 является тангенсом двойного угла: $3 \cdot \tan(2 \cdot 75^\circ) = 3 \cdot \tan(150^\circ)$. Воспользуемся формулой приведения для тангенса: $\tan(180^\circ - \beta) = -\tan\beta$. $\tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ)$. Табличное значение тангенса 30 градусов: $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Тогда $\tan(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Окончательный результат: $3 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$

4) Рассмотрим выражение $\frac{\tan^2 22^\circ 30' - 1}{\tan 22^\circ 30'}$. Сначала преобразуем его, вынеся минус за дробь: $\frac{\tan^2 22^\circ 30' - 1}{\tan 22^\circ 30'} = - \frac{1 - \tan^2 22^\circ 30'}{\tan 22^\circ 30'}$. Вспомним формулу котангенса двойного угла через тангенс: $\cot(2\alpha) = \frac{1 - \tan^2\alpha}{2\tan\alpha}$. Из этой формулы следует, что $\frac{1 - \tan^2\alpha}{\tan\alpha} = 2\cot(2\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 22^\circ 30'$. Угол $22^\circ 30'$ равен $22.5^\circ$. Тогда исходное выражение равно: $- (2\cot(2 \cdot 22.5^\circ)) = -2\cot(45^\circ)$. Значение котангенса 45 градусов равно 1: $\cot(45^\circ) = 1$. Таким образом, результат равен $-2 \cdot 1 = -2$.
Ответ: $-2$