Номер 1044, страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1044. Доказать тождество:

1) $\sin^2(\alpha - \beta) + \sin^2\beta + 2\sin(\alpha - \beta)\sin\beta \cos\alpha = \sin^2\alpha;$

2) $\operatorname{tg}3\alpha = \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right).$

1) Доказать тождество $ \sin^2(\alpha - \beta) + \sin^2\beta + 2\sin(\alpha - \beta)\sin\beta\cos\alpha = \sin^2\alpha $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем второе и третье слагаемые:

$ \sin^2(\alpha - \beta) + \sin\beta(\sin\beta + 2\sin(\alpha - \beta)\cos\alpha) $

Теперь рассмотрим выражение в скобках. Раскроем $ \sin(\alpha - \beta) $ по формуле синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.

$ \sin\beta + 2(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta)\cos\alpha = \sin\beta + 2\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha - 2\cos^2\alpha\sin\beta $

Этот путь кажется слишком сложным. Попробуем другой подход. Сгруппируем первое и третье слагаемые и вынесем общий множитель $ \sin(\alpha - \beta) $:

$ \sin^2\beta + \sin(\alpha - \beta)[\sin(\alpha - \beta) + 2\sin\beta\cos\alpha] $

Раскроем $ \sin(\alpha - \beta) $ в квадратных скобках:

$ [\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta + 2\sin\beta\cos\alpha] $

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$ [\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta] $

Это выражение является формулой синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) $.

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть тождества:

$ \sin^2\beta + \sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) $

Воспользуемся формулой произведения синусов, которая также известна как формула разности квадратов синусов: $ \sin(x-y)\sin(x+y) = \sin^2x - \sin^2y $.

Применив эту формулу для наших переменных, получим:

$ \sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta $

Подставим это в наше выражение:

$ \sin^2\beta + (\sin^2\alpha - \sin^2\beta) = \sin^2\beta + \sin^2\alpha - \sin^2\beta = \sin^2\alpha $

Левая часть равна правой части, тождество доказано.

Ответ: Тождество $ \sin^2(\alpha - \beta) + \sin^2\beta + 2\sin(\alpha - \beta)\sin\beta\cos\alpha = \sin^2\alpha $ доказано.

2) Доказать тождество $ \text{tg}3\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{3} + \alpha) \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha) $.

Для доказательства преобразуем правую часть равенства. Воспользуемся формулами тангенса суммы и разности углов:

$ \text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg}A + \text{tg}B}{1 - \text{tg}A \text{tg}B} $

$ \text{tg}(A-B) = \frac{\text{tg}A - \text{tg}B}{1 + \text{tg}A \text{tg}B} $

В нашем случае $ A = \frac{\pi}{3} $, и мы знаем, что $ \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $.

Выразим $ \text{tg}(\frac{\pi}{3} + \alpha) $ и $ \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha) $:

$ \text{tg}(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{\sqrt{3} + \text{tg}\alpha}{1 - \sqrt{3}\text{tg}\alpha} $

$ \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{\sqrt{3} - \text{tg}\alpha}{1 + \sqrt{3}\text{tg}\alpha} $

Теперь перемножим эти два выражения:

$ \text{tg}(\frac{\pi}{3} + \alpha) \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \left( \frac{\sqrt{3} + \text{tg}\alpha}{1 - \sqrt{3}\text{tg}\alpha} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{3} - \text{tg}\alpha}{1 + \sqrt{3}\text{tg}\alpha} \right) $

Используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ для числителя и знаменателя:

$ \frac{(\sqrt{3})^2 - (\text{tg}\alpha)^2}{1^2 - (\sqrt{3}\text{tg}\alpha)^2} = \frac{3 - \text{tg}^2\alpha}{1 - 3\text{tg}^2\alpha} $

Теперь умножим полученный результат на $ \text{tg}\alpha $, чтобы получить всю правую часть тождества:

$ \text{tg}\alpha \cdot \frac{3 - \text{tg}^2\alpha}{1 - 3\text{tg}^2\alpha} = \frac{3\text{tg}\alpha - \text{tg}^3\alpha}{1 - 3\text{tg}^2\alpha} $

Полученное выражение является формулой тангенса тройного угла:

$ \text{tg}(3\alpha) = \frac{3\text{tg}\alpha - \text{tg}^3\alpha}{1 - 3\text{tg}^2\alpha} $

Таким образом, правая часть равна левой, и тождество доказано.

Ответ: Тождество $ \text{tg}3\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{3} + \alpha) \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha) $ доказано.