Номер 1041, страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Упростить выражение (1041—1042).

1041.

1) $\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}$;

2) $\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$;

3) $\operatorname{sin} 6 \alpha \cdot \operatorname{ctg} 3 \alpha - \operatorname{cos} 6 \alpha$;

4) $\operatorname{cos} \frac{\alpha}{2} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{4} + \operatorname{sin} \frac{\alpha}{2}$;

5) $\operatorname{cos} 2 \alpha + \operatorname{sin} 2 \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha$;

6) $\operatorname{cos} 2 \alpha - \operatorname{sin} 2 \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha$.

1) Исходное выражение: $\frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}$.
Заменим тангенсы на отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
В числителе: $\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$.
В знаменателе: $\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$.
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}$.
Используем формулы синуса суммы и разности углов:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$
Таким образом, выражение упрощается до: $\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)}$.
Ответ: $\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)}$.

2) Исходное выражение: $\frac{1+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$.
Заменим тангенсы на отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
В числителе: $1+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta = 1 + \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$.
В знаменателе: $1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta = 1 - \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$.
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{\frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} = \frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}$.
Используем формулы косинуса разности и суммы углов:
$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$
$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
Таким образом, выражение упрощается до: $\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$.
Ответ: $\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$.

3) Исходное выражение: $\sin 6\alpha \cdot \operatorname{ctg} 3\alpha - \cos 6\alpha$.
Заменим котангенс на отношение косинуса к синусу: $\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha}$.
$\sin 6\alpha \cdot \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} - \cos 6\alpha$.
Приведем к общему знаменателю $\sin 3\alpha$:
$\frac{\sin 6\alpha \cos 3\alpha - \cos 6\alpha \sin 3\alpha}{\sin 3\alpha}$.
В числителе используем формулу синуса разности углов: $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
Пусть $A = 6\alpha$ и $B = 3\alpha$. Тогда числитель равен $\sin(6\alpha - 3\alpha) = \sin 3\alpha$.
Выражение принимает вид: $\frac{\sin 3\alpha}{\sin 3\alpha} = 1$.
Ответ: $1$.

4) Исходное выражение: $\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{4} + \sin \frac{\alpha}{2}$.
Заменим котангенс на отношение косинуса к синусу: $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{4} = \frac{\cos(\alpha/4)}{\sin(\alpha/4)}$.
$\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\cos(\alpha/4)}{\sin(\alpha/4)} + \sin \frac{\alpha}{2}$.
Приведем к общему знаменателю $\sin(\alpha/4)$:
$\frac{\cos(\alpha/2) \cos(\alpha/4) + \sin(\alpha/2) \sin(\alpha/4)}{\sin(\alpha/4)}$.
В числителе используем формулу косинуса разности углов: $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.
Пусть $A = \frac{\alpha}{2}$ и $B = \frac{\alpha}{4}$. Тогда числитель равен $\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{4}) = \cos(\frac{\alpha}{4})$.
Выражение принимает вид: $\frac{\cos(\alpha/4)}{\sin(\alpha/4)} = \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{4}$.
Ответ: $\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{4}$.

5) Исходное выражение: $\cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha$.
Заменим тангенс на отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Приведем к общему знаменателю $\cos \alpha$:
$\frac{\cos 2\alpha \cos \alpha + \sin 2\alpha \sin \alpha}{\cos \alpha}$.
В числителе используем формулу косинуса разности углов: $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.
Пусть $A = 2\alpha$ и $B = \alpha$. Тогда числитель равен $\cos(2\alpha - \alpha) = \cos \alpha$.
Выражение принимает вид: $\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} = 1$.
Ответ: $1$.

6) Исходное выражение: $\cos 2\alpha - \sin 2\alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha$.
Заменим котангенс на отношение косинуса к синусу: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
$\cos 2\alpha - \sin 2\alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Приведем к общему знаменателю $\sin \alpha$:
$\frac{\cos 2\alpha \sin \alpha - \sin 2\alpha \cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Числитель $\sin \alpha \cos 2\alpha - \cos \alpha \sin 2\alpha$ соответствует формуле синуса разности углов $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
Пусть $A = \alpha$ и $B = 2\alpha$.
Тогда числитель равен $\sin(\alpha - 2\alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin\alpha$.
Выражение принимает вид: $\frac{-\sin \alpha}{\sin \alpha} = -1$.
Ответ: $-1$.