Номер 1040, страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1040. Решить уравнение:

1) $ \cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = -1; $

2) $ \sin 3x \cos 5x - \sin 5x \cos 3x = -1; $

3) $ \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \cos x = 1; $

4) $ \sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) + \sin\frac{x}{2} = 1. $

1) $\cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = -1$

Воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.
В нашем случае $\alpha = 6x$ и $\beta = 5x$.
Применяя формулу, получаем:
$\cos(6x - 5x) = -1$
$\cos x = -1$
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Корни находятся по формуле:
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 3x \cos 5x - \sin 5x \cos 3x = -1$

Воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
В данном уравнении $\alpha = 3x$ и $\beta = 5x$.
Применяя формулу, получаем:
$\sin(3x - 5x) = -1$
$\sin(-2x) = -1$
Так как синус — нечетная функция ($\sin(-\theta) = -\sin\theta$), уравнение принимает вид:
$-\sin(2x) = -1$
$\sin(2x) = 1$
Это частный случай, решение которого:
$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4} + x) - \cos x = 1$

Раскроем скобки с помощью формулы косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
$\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x) - \cos x = 1$
Подставим значения $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x) - \cos x = 1$
Упростим выражение:
$(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})\cos x - (\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})\sin x - \cos x = 1$
$\frac{2}{2}\cos x - \frac{2}{2}\sin x - \cos x = 1$
$\cos x - \sin x - \cos x = 1$
$-\sin x = 1$
$\sin x = -1$
Решение этого уравнения:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) + \sin\frac{x}{2} = 1$

Раскроем скобки, используя формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
$\sqrt{2}(\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{x}{2} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{x}{2}) + \sin\frac{x}{2} = 1$
Подставим значения $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\frac{x}{2}) + \sin\frac{x}{2} = 1$
Упростим выражение:
$(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})\cos\frac{x}{2} - (\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})\sin\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} = 1$
$\frac{2}{2}\cos\frac{x}{2} - \frac{2}{2}\sin\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} = 1$
$\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} = 1$
$\cos\frac{x}{2} = 1$
Решение этого уравнения:
$\frac{x}{2} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.