Страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1040. Решить уравнение:

1) $ \cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = -1; $

2) $ \sin 3x \cos 5x - \sin 5x \cos 3x = -1; $

3) $ \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \cos x = 1; $

4) $ \sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) + \sin\frac{x}{2} = 1. $

1) $\cos 6x \cos 5x + \sin 6x \sin 5x = -1$

Воспользуемся формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.
В нашем случае $\alpha = 6x$ и $\beta = 5x$.
Применяя формулу, получаем:
$\cos(6x - 5x) = -1$
$\cos x = -1$
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Корни находятся по формуле:
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 3x \cos 5x - \sin 5x \cos 3x = -1$

Воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
В данном уравнении $\alpha = 3x$ и $\beta = 5x$.
Применяя формулу, получаем:
$\sin(3x - 5x) = -1$
$\sin(-2x) = -1$
Так как синус — нечетная функция ($\sin(-\theta) = -\sin\theta$), уравнение принимает вид:
$-\sin(2x) = -1$
$\sin(2x) = 1$
Это частный случай, решение которого:
$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4} + x) - \cos x = 1$

Раскроем скобки с помощью формулы косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
$\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x) - \cos x = 1$
Подставим значения $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x) - \cos x = 1$
Упростим выражение:
$(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})\cos x - (\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})\sin x - \cos x = 1$
$\frac{2}{2}\cos x - \frac{2}{2}\sin x - \cos x = 1$
$\cos x - \sin x - \cos x = 1$
$-\sin x = 1$
$\sin x = -1$
Решение этого уравнения:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) + \sin\frac{x}{2} = 1$

Раскроем скобки, используя формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
$\sqrt{2}(\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{x}{2} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{x}{2}) + \sin\frac{x}{2} = 1$
Подставим значения $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\frac{x}{2}) + \sin\frac{x}{2} = 1$
Упростим выражение:
$(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})\cos\frac{x}{2} - (\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})\sin\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} = 1$
$\frac{2}{2}\cos\frac{x}{2} - \frac{2}{2}\sin\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} = 1$
$\cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} = 1$
$\cos\frac{x}{2} = 1$
Решение этого уравнения:
$\frac{x}{2} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Упростить выражение (1041—1042).

1041.

1) $\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta}$;

2) $\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$;

3) $\operatorname{sin} 6 \alpha \cdot \operatorname{ctg} 3 \alpha - \operatorname{cos} 6 \alpha$;

4) $\operatorname{cos} \frac{\alpha}{2} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{4} + \operatorname{sin} \frac{\alpha}{2}$;

5) $\operatorname{cos} 2 \alpha + \operatorname{sin} 2 \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha$;

6) $\operatorname{cos} 2 \alpha - \operatorname{sin} 2 \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha$.

1) Исходное выражение: $\frac{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}$.
Заменим тангенсы на отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
В числителе: $\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$.
В знаменателе: $\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$.
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}$.
Используем формулы синуса суммы и разности углов:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$
Таким образом, выражение упрощается до: $\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)}$.
Ответ: $\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha - \beta)}$.

2) Исходное выражение: $\frac{1+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}$.
Заменим тангенсы на отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
В числителе: $1+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta = 1 + \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$.
В знаменателе: $1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta = 1 - \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$.
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{\frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} = \frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}$.
Используем формулы косинуса разности и суммы углов:
$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$
$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
Таким образом, выражение упрощается до: $\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$.
Ответ: $\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$.

3) Исходное выражение: $\sin 6\alpha \cdot \operatorname{ctg} 3\alpha - \cos 6\alpha$.
Заменим котангенс на отношение косинуса к синусу: $\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha}$.
$\sin 6\alpha \cdot \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} - \cos 6\alpha$.
Приведем к общему знаменателю $\sin 3\alpha$:
$\frac{\sin 6\alpha \cos 3\alpha - \cos 6\alpha \sin 3\alpha}{\sin 3\alpha}$.
В числителе используем формулу синуса разности углов: $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
Пусть $A = 6\alpha$ и $B = 3\alpha$. Тогда числитель равен $\sin(6\alpha - 3\alpha) = \sin 3\alpha$.
Выражение принимает вид: $\frac{\sin 3\alpha}{\sin 3\alpha} = 1$.
Ответ: $1$.

4) Исходное выражение: $\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{4} + \sin \frac{\alpha}{2}$.
Заменим котангенс на отношение косинуса к синусу: $\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{4} = \frac{\cos(\alpha/4)}{\sin(\alpha/4)}$.
$\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\cos(\alpha/4)}{\sin(\alpha/4)} + \sin \frac{\alpha}{2}$.
Приведем к общему знаменателю $\sin(\alpha/4)$:
$\frac{\cos(\alpha/2) \cos(\alpha/4) + \sin(\alpha/2) \sin(\alpha/4)}{\sin(\alpha/4)}$.
В числителе используем формулу косинуса разности углов: $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.
Пусть $A = \frac{\alpha}{2}$ и $B = \frac{\alpha}{4}$. Тогда числитель равен $\cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{4}) = \cos(\frac{\alpha}{4})$.
Выражение принимает вид: $\frac{\cos(\alpha/4)}{\sin(\alpha/4)} = \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{4}$.
Ответ: $\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{4}$.

5) Исходное выражение: $\cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha$.
Заменим тангенс на отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Приведем к общему знаменателю $\cos \alpha$:
$\frac{\cos 2\alpha \cos \alpha + \sin 2\alpha \sin \alpha}{\cos \alpha}$.
В числителе используем формулу косинуса разности углов: $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.
Пусть $A = 2\alpha$ и $B = \alpha$. Тогда числитель равен $\cos(2\alpha - \alpha) = \cos \alpha$.
Выражение принимает вид: $\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} = 1$.
Ответ: $1$.

6) Исходное выражение: $\cos 2\alpha - \sin 2\alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha$.
Заменим котангенс на отношение косинуса к синусу: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
$\cos 2\alpha - \sin 2\alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Приведем к общему знаменателю $\sin \alpha$:
$\frac{\cos 2\alpha \sin \alpha - \sin 2\alpha \cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Числитель $\sin \alpha \cos 2\alpha - \cos \alpha \sin 2\alpha$ соответствует формуле синуса разности углов $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
Пусть $A = \alpha$ и $B = 2\alpha$.
Тогда числитель равен $\sin(\alpha - 2\alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin\alpha$.
Выражение принимает вид: $\frac{-\sin \alpha}{\sin \alpha} = -1$.
Ответ: $-1$.

1042. 1) $\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta + (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta)\operatorname{ctg} (\alpha + \beta);$

2) $(\operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg} \beta)\operatorname{ctg} (\alpha - \beta) - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta;$

3) $\frac{3\operatorname{ctg}^215^\circ - 1}{3 - \operatorname{ctg}^215^\circ};$

4) $\frac{\operatorname{tg}50^\circ - \operatorname{tg}5^\circ - 1}{\operatorname{tg}50^\circ \operatorname{tg}5^\circ}.$

1) Упростим выражение $\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta + (\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta)\,\text{ctg}(\alpha + \beta)$.

Воспользуемся формулой котангенса суммы двух углов, выраженной через тангенсы:

$\text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha + \beta)} = \frac{1 - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}{\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta}$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta + (\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta) \cdot \frac{1 - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}{\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta}$.

При условии, что $\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta \neq 0$ (чтобы $\text{ctg}(\alpha+\beta)$ был определен), мы можем сократить дробь:

$\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta + (1 - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta)$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$\text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta + 1 = 1$.

Ответ: 1

2) Упростим выражение $(\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta)\,\text{ctg}(\alpha - \beta) - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta$.

Воспользуемся формулой котангенса разности двух углов, выраженной через тангенсы:

$\text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{1}{\text{tg}(\alpha - \beta)} = \frac{1 + \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}{\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta}$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$(\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta) \cdot \frac{1 + \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}{\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta} - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta$.

При условии, что $\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta \neq 0$ (чтобы $\text{ctg}(\alpha-\beta)$ был определен), мы можем сократить дробь:

$(1 + \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta) - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta$.

Приведем подобные слагаемые:

$1 + \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta - \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta = 1$.

Ответ: 1

3) Вычислим значение выражения $\frac{3\text{ctg}^2 15^\circ - 1}{3 - \text{ctg}^2 15^\circ}$.

Воспользуемся формулой котангенса тройного угла: $\text{ctg}(3\alpha) = \frac{\text{ctg}^3\alpha - 3\text{ctg}\,\alpha}{3\text{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{\text{ctg}\,\alpha(\text{ctg}^2\alpha - 3)}{3\text{ctg}^2\alpha - 1}$.

Пусть $\alpha = 15^\circ$. Тогда $3\alpha = 45^\circ$, и $\text{ctg}(3\alpha) = \text{ctg}(45^\circ) = 1$.

Подставим это в формулу:

$1 = \frac{\text{ctg}\,15^\circ(\text{ctg}^2 15^\circ - 3)}{3\text{ctg}^2 15^\circ - 1}$.

Отсюда следует, что числитель и знаменатель равны:

$3\text{ctg}^2 15^\circ - 1 = \text{ctg}\,15^\circ(\text{ctg}^2 15^\circ - 3)$.

Теперь подставим это равенство в числитель исходного выражения:

$\frac{3\text{ctg}^2 15^\circ - 1}{3 - \text{ctg}^2 15^\circ} = \frac{\text{ctg}\,15^\circ(\text{ctg}^2 15^\circ - 3)}{3 - \text{ctg}^2 15^\circ}$.

Вынесем минус из скобки в числителе:

$\frac{-\text{ctg}\,15^\circ(3 - \text{ctg}^2 15^\circ)}{3 - \text{ctg}^2 15^\circ}$.

Сократив дробь, получим:

$-\text{ctg}\,15^\circ$.

Осталось вычислить значение $\text{ctg}\,15^\circ$. Представим $15^\circ$ как разность $45^\circ - 30^\circ$:

$\text{ctg}\,15^\circ = \text{ctg}(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\text{ctg}\,45^\circ \text{ctg}\,30^\circ + 1}{\text{ctg}\,30^\circ - \text{ctg}\,45^\circ} = \frac{1 \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.

Таким образом, искомое значение равно $-(2 + \sqrt{3})$.

Ответ: $-(2 + \sqrt{3})$

4) Вычислим значение выражения $\frac{\text{tg}\,50^\circ - \text{tg}\,5^\circ - 1}{\text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ}$.

Рассмотрим формулу тангенса разности: $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta}{1 + \text{tg}\,\alpha\,\text{tg}\,\beta}$.

Применим ее для углов $\alpha = 50^\circ$ и $\beta = 5^\circ$. Их разность равна $50^\circ - 5^\circ = 45^\circ$.

$\text{tg}(50^\circ - 5^\circ) = \text{tg}(45^\circ) = 1$.

Таким образом, мы имеем равенство:

$1 = \frac{\text{tg}\,50^\circ - \text{tg}\,5^\circ}{1 + \text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ}$.

Из этого равенства выразим разность тангенсов:

$\text{tg}\,50^\circ - \text{tg}\,5^\circ = 1 \cdot (1 + \text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ) = 1 + \text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ$.

Теперь подставим это выражение в числитель исходной дроби:

$\frac{(\text{tg}\,50^\circ - \text{tg}\,5^\circ) - 1}{\text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ} = \frac{(1 + \text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ) - 1}{\text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ}$.

Упростим числитель:

$\frac{\text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ}{\text{tg}\,50^\circ \text{tg}\,5^\circ} = 1$.

Ответ: 1

1043. Доказать, что если $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$ и $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$, то:

1) $(1 + \operatorname{tg} \alpha)(1 + \operatorname{tg} \beta) = 2;

2) $(1 - \operatorname{ctg} \alpha)(1 - \operatorname{ctg} \beta) = 2.$

1) Доказать, что $(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{tg}\beta) = 2$

По условию задачи нам дано, что $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$. Возьмем тангенс от обеих частей этого равенства. $\text{tg}(\alpha + \beta) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Мы знаем, что $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$. Используя формулу тангенса суммы $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$, получаем: $\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta} = 1$.

Поскольку $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$, то $0 < \text{tg}\alpha < 1$ и $0 < \text{tg}\beta < 1$. Следовательно, произведение $\text{tg}\alpha\text{tg}\beta \neq 1$, и знаменатель не равен нулю. Мы можем умножить обе части уравнения на знаменатель: $\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta = 1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta$.

Перенесем $\text{tg}\alpha\text{tg}\beta$ в левую часть: $\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta + \text{tg}\alpha\text{tg}\beta = 1$.

Теперь рассмотрим левую часть доказываемого равенства и раскроем скобки: $(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{tg}\beta) = 1 + \text{tg}\beta + \text{tg}\alpha + \text{tg}\alpha\text{tg}\beta = 1 + (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta + \text{tg}\alpha\text{tg}\beta)$.

Подставим в это выражение полученное ранее значение для выражения в скобках: $1 + (1) = 2$.

Таким образом, мы доказали, что $(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{tg}\beta) = 2$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Доказать, что $(1 - \text{ctg}\alpha)(1 - \text{ctg}\beta) = 2$

Снова используем условие $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$. Возьмем котангенс от обеих частей равенства. $\text{ctg}(\alpha + \beta) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Мы знаем, что $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$. Используя формулу котангенса суммы $\text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta - 1}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}$, получаем: $\frac{\text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta - 1}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta} = 1$.

Поскольку $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$, то $\text{ctg}\alpha > 1$ и $\text{ctg}\beta > 1$. Знаменатель $\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta$ положителен и не равен нулю. Умножим обе части уравнения на него: $\text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta - 1 = \text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta$.

Теперь рассмотрим левую часть доказываемого равенства и раскроем скобки: $(1 - \text{ctg}\alpha)(1 - \text{ctg}\beta) = 1 - \text{ctg}\beta - \text{ctg}\alpha + \text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta = 1 - (\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta) + \text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta$.

Подставим в это выражение полученное ранее равенство для суммы котангенсов $\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta$: $1 - (\text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta - 1) + \text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $1 - \text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta + 1 + \text{ctg}\alpha\text{ctg}\beta = 2$.

Таким образом, мы доказали, что $(1 - \text{ctg}\alpha)(1 - \text{ctg}\beta) = 2$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1044. Доказать тождество:

1) $\sin^2(\alpha - \beta) + \sin^2\beta + 2\sin(\alpha - \beta)\sin\beta \cos\alpha = \sin^2\alpha;$

2) $\operatorname{tg}3\alpha = \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right).$

1) Доказать тождество $ \sin^2(\alpha - \beta) + \sin^2\beta + 2\sin(\alpha - \beta)\sin\beta\cos\alpha = \sin^2\alpha $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем второе и третье слагаемые:

$ \sin^2(\alpha - \beta) + \sin\beta(\sin\beta + 2\sin(\alpha - \beta)\cos\alpha) $

Теперь рассмотрим выражение в скобках. Раскроем $ \sin(\alpha - \beta) $ по формуле синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.

$ \sin\beta + 2(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta)\cos\alpha = \sin\beta + 2\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha - 2\cos^2\alpha\sin\beta $

Этот путь кажется слишком сложным. Попробуем другой подход. Сгруппируем первое и третье слагаемые и вынесем общий множитель $ \sin(\alpha - \beta) $:

$ \sin^2\beta + \sin(\alpha - \beta)[\sin(\alpha - \beta) + 2\sin\beta\cos\alpha] $

Раскроем $ \sin(\alpha - \beta) $ в квадратных скобках:

$ [\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta + 2\sin\beta\cos\alpha] $

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$ [\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta] $

Это выражение является формулой синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) $.

Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть тождества:

$ \sin^2\beta + \sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) $

Воспользуемся формулой произведения синусов, которая также известна как формула разности квадратов синусов: $ \sin(x-y)\sin(x+y) = \sin^2x - \sin^2y $.

Применив эту формулу для наших переменных, получим:

$ \sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta $

Подставим это в наше выражение:

$ \sin^2\beta + (\sin^2\alpha - \sin^2\beta) = \sin^2\beta + \sin^2\alpha - \sin^2\beta = \sin^2\alpha $

Левая часть равна правой части, тождество доказано.

Ответ: Тождество $ \sin^2(\alpha - \beta) + \sin^2\beta + 2\sin(\alpha - \beta)\sin\beta\cos\alpha = \sin^2\alpha $ доказано.

2) Доказать тождество $ \text{tg}3\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{3} + \alpha) \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha) $.

Для доказательства преобразуем правую часть равенства. Воспользуемся формулами тангенса суммы и разности углов:

$ \text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg}A + \text{tg}B}{1 - \text{tg}A \text{tg}B} $

$ \text{tg}(A-B) = \frac{\text{tg}A - \text{tg}B}{1 + \text{tg}A \text{tg}B} $

В нашем случае $ A = \frac{\pi}{3} $, и мы знаем, что $ \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $.

Выразим $ \text{tg}(\frac{\pi}{3} + \alpha) $ и $ \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha) $:

$ \text{tg}(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \frac{\sqrt{3} + \text{tg}\alpha}{1 - \sqrt{3}\text{tg}\alpha} $

$ \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \frac{\sqrt{3} - \text{tg}\alpha}{1 + \sqrt{3}\text{tg}\alpha} $

Теперь перемножим эти два выражения:

$ \text{tg}(\frac{\pi}{3} + \alpha) \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \left( \frac{\sqrt{3} + \text{tg}\alpha}{1 - \sqrt{3}\text{tg}\alpha} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{3} - \text{tg}\alpha}{1 + \sqrt{3}\text{tg}\alpha} \right) $

Используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ для числителя и знаменателя:

$ \frac{(\sqrt{3})^2 - (\text{tg}\alpha)^2}{1^2 - (\sqrt{3}\text{tg}\alpha)^2} = \frac{3 - \text{tg}^2\alpha}{1 - 3\text{tg}^2\alpha} $

Теперь умножим полученный результат на $ \text{tg}\alpha $, чтобы получить всю правую часть тождества:

$ \text{tg}\alpha \cdot \frac{3 - \text{tg}^2\alpha}{1 - 3\text{tg}^2\alpha} = \frac{3\text{tg}\alpha - \text{tg}^3\alpha}{1 - 3\text{tg}^2\alpha} $

Полученное выражение является формулой тангенса тройного угла:

$ \text{tg}(3\alpha) = \frac{3\text{tg}\alpha - \text{tg}^3\alpha}{1 - 3\text{tg}^2\alpha} $

Таким образом, правая часть равна левой, и тождество доказано.

Ответ: Тождество $ \text{tg}3\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{3} + \alpha) \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{3} - \alpha) $ доказано.