Страница 294 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1016. Вычислить:

1) $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

2) $\frac{1+\text{tg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{1+\text{ctg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}$

3) $\cos(-\pi) + \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(-\frac{3}{2}\pi\right) + \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

4) $\frac{3 - \sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) - \cos^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)}$

1)
Вычислим значение выражения $\cos(-\frac{\pi}{6})\sin(-\frac{\pi}{3}) + \tg(-\frac{\pi}{4})$.
Для упрощения выражения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций:

• Косинус — четная функция: $\cos(-x) = \cos(x)$.
• Синус — нечетная функция: $\sin(-x) = -\sin(x)$.
• Тангенс — нечетная функция: $\tg(-x) = -\tg(x)$.

Применяя эти свойства, преобразуем исходное выражение:
$\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6})$
$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3})$
$\tg(-\frac{\pi}{4}) = -\tg(\frac{\pi}{4})$
Подставим преобразованные функции в выражение:
$\cos(\frac{\pi}{6}) \cdot (-\sin(\frac{\pi}{3})) - \tg(\frac{\pi}{4})$
Теперь подставим табличные значения тригонометрических функций:
$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tg(\frac{\pi}{4}) = 1$
Выполним вычисления:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 1 = -\frac{3}{4} - 1 = -\frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{7}{4}$.

Ответ: $-\frac{7}{4}$.

2)
Вычислим значение выражения $\frac{1 + \tg^2(-\frac{\pi}{6})}{1 + \ctg^2(-\frac{\pi}{6})}$.
Так как квадрат функции является четной функцией ($\tg^2(-x) = (\tg(-x))^2 = (-\tg(x))^2 = \tg^2(x)$), выражение можно переписать так:
$\frac{1 + \tg^2(\frac{\pi}{6})}{1 + \ctg^2(\frac{\pi}{6})}$
Используем основные тригонометрические тождества $1 + \tg^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$ и $1 + \ctg^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)}$.
Подставим их в наше выражение при $\alpha = \frac{\pi}{6}$:
$\frac{\frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{6})}}{\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{6})}} = \frac{\sin^2(\frac{\pi}{6})}{\cos^2(\frac{\pi}{6})} = \tg^2(\frac{\pi}{6})$
Теперь вычислим значение:
$\tg^2(\frac{\pi}{6}) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3)
Вычислим значение выражения $\cos(-\pi) + \ctg(-\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{3\pi}{2}) + \ctg(-\frac{\pi}{4})$.
Применим свойства четности и нечетности тригонометрических функций:
$\cos(-\pi) = \cos(\pi)$
$\ctg(-\frac{\pi}{2}) = -\ctg(\frac{\pi}{2})$
$\sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2})$
$\ctg(-\frac{\pi}{4}) = -\ctg(\frac{\pi}{4})$
Подставим в выражение:
$\cos(\pi) - \ctg(\frac{\pi}{2}) - (-\sin(\frac{3\pi}{2})) - \ctg(\frac{\pi}{4}) = \cos(\pi) - \ctg(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{3\pi}{2}) - \ctg(\frac{\pi}{4})$
Вычислим табличные значения:
$\cos(\pi) = -1$
$\ctg(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$
$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$
$\ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$
Подставим числовые значения и произведем расчет:
$-1 - 0 + (-1) - 1 = -3$.

Ответ: $-3$.

4)
Вычислим значение выражения $\frac{3 - \sin^2(-\frac{\pi}{3}) - \cos^2(-\frac{\pi}{3})}{2\cos(-\frac{\pi}{4})}$.
Упростим числитель. Так как $\sin^2(-x) = \sin^2(x)$ и $\cos^2(-x) = \cos^2(x)$, то:
$3 - \sin^2(\frac{\pi}{3}) - \cos^2(\frac{\pi}{3}) = 3 - (\sin^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{3}))$
По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
Числитель равен: $3 - 1 = 2$.
Теперь упростим знаменатель, используя свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$:
$2\cos(-\frac{\pi}{4}) = 2\cos(\frac{\pi}{4})$
Подставим табличное значение:
$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Теперь найдем значение всей дроби:
$\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

1017. Упростить выражение:

1) $ \text{tg}(-\alpha)\cos \alpha + \sin \alpha; $

2) $ \cos \alpha - \text{ctg}\, \alpha \sin(-\alpha); $

3) $ \frac{\cos(-\alpha) + \sin(-\alpha)}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}; $

4) $ \text{tg}(-\alpha)\text{ctg}(-\alpha) + \cos^2(-\alpha) + \sin^2 \alpha. $

Исходное выражение: $tg(-\alpha)\cos\alpha + \sin\alpha$.
Для упрощения используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций. Тангенс является нечетной функцией, поэтому $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$.
Подставим это в выражение:
$-tg(\alpha)\cos\alpha + \sin\alpha$
Теперь используем определение тангенса: $tg(\alpha) = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Заменим $tg(\alpha)$ в нашем выражении:
$-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha + \sin\alpha$
Сократим $\cos\alpha$ в первом слагаемом:
$-\sin\alpha + \sin\alpha = 0$

Ответ: 0.

Исходное выражение: $\cos\alpha - ctg\alpha\sin(-\alpha)$.
Синус является нечетной функцией, поэтому $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
Подставим это в выражение:
$\cos\alpha - ctg\alpha(-\sin\alpha) = \cos\alpha + ctg\alpha\sin\alpha$
Теперь используем определение котангенса: $ctg(\alpha) = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Заменим $ctg(\alpha)$ в нашем выражении:
$\cos\alpha + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \sin\alpha$
Сократим $\sin\alpha$ во втором слагаемом:
$\cos\alpha + \cos\alpha = 2\cos\alpha$

Ответ: $2\cos\alpha$.

Исходное выражение: $\frac{\cos(-\alpha) + \sin(-\alpha)}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}$.
Упростим числитель, используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$):
$\cos\alpha - \sin\alpha$
Теперь рассмотрим знаменатель. Выражение $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ является формулой косинуса двойного угла, а также разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = (\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)$.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha)}$
Сократим общий множитель $(\cos\alpha - \sin\alpha)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\cos\alpha \neq \sin\alpha$):
$\frac{1}{\cos\alpha + \sin\alpha}$

Ответ: $\frac{1}{\cos\alpha + \sin\alpha}$.

Исходное выражение: $tg(-\alpha)ctg(-\alpha) + \cos^2(-\alpha) + \sin^2\alpha$.
Упростим каждое слагаемое по отдельности:
1. Произведение $tg(-\alpha)ctg(-\alpha)$. Так как тангенс и котангенс - нечетные функции, то $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$ и $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$. Их произведение равно $(-tg\alpha)(-ctg\alpha) = tg\alpha \cdot ctg\alpha$. По основному тригонометрическому тождеству $tg\alpha \cdot ctg\alpha = 1$.
2. Слагаемое $\cos^2(-\alpha)$. Косинус - четная функция, поэтому $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$. Следовательно, $\cos^2(-\alpha) = (\cos(-\alpha))^2 = (\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha$.
Подставим упрощенные части обратно в выражение:
$1 + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha$
Выражение $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha$ является основным тригонометрическим тождеством и равно 1.
Получаем:
$1 + 1 = 2$

Ответ: 2.

1018. Вычислить:

1) $ \frac{2 - \sin^2 \left( -\frac{\pi}{6} \right) + \cos^2 \left( -\frac{\pi}{3} \right)}{2\cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) + \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right)}; $

2) $ \sqrt{3} \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) - 2\text{ctg} \left( -\frac{\pi}{4} \right) + 4\cos \left( -\frac{3}{2}\pi \right). $

1) Для вычисления значения выражения $\frac{2 - \sin^2(-\frac{\pi}{6}) + \cos^2(-\frac{\pi}{3})}{2\cos(-\frac{\pi}{3}) + \sin(-\frac{\pi}{3})}$ воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: косинус — четная функция, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$, а синус — нечетная функция, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$.

Сначала вычислим значения выражений в числителе:
$\sin^2(-\frac{\pi}{6}) = (-\sin(\frac{\pi}{6}))^2 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
$\cos^2(-\frac{\pi}{3}) = (\cos(\frac{\pi}{3}))^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
Тогда весь числитель равен: $2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 2$.

Теперь вычислим значение знаменателя:
$2\cos(-\frac{\pi}{3}) + \sin(-\frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем значение всей дроби, подставив найденные значения числителя и знаменателя:
$\frac{2}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} = 2 \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}} = \frac{4}{2 - \sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(2 + \sqrt{3})$:
$\frac{4(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{1} = 8 + 4\sqrt{3}$.

Ответ: $8 + 4\sqrt{3}$.

2) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3}\sin(-\frac{\pi}{3}) - 2\text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) + 4\cos(-\frac{3\pi}{2})$ воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций: $\sin(-x) = -\sin(x)$, $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$ и $\cos(-x) = \cos(x)$.

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности:
1. $\sqrt{3}\sin(-\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \cdot (-\sin(\frac{\pi}{3})) = \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2}$.
2. $-2\text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -2 \cdot (-\text{ctg}(\frac{\pi}{4})) = 2 \cdot 1 = 2$.
3. $4\cos(-\frac{3\pi}{2}) = 4\cos(\frac{3\pi}{2}) = 4 \cdot 0 = 0$.

Теперь сложим полученные значения:
$-\frac{3}{2} + 2 + 0 = -\frac{3}{2} + \frac{4}{2} = \frac{-3+4}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

1019. Упростить выражение:

1) $\frac{\sin^3(-\alpha) + \cos^3(-\alpha)}{1 - \sin(-\alpha)\cos(-\alpha)}$

2) $\frac{(\sin(-\alpha) + \cos(-\alpha))^2 - 1}{-\sin(-\alpha)}$

1)

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также формулами сокращенного умножения.

Исходное выражение: $$ \frac{\sin^3(-\alpha) + \cos^3(-\alpha)}{1 - \sin(-\alpha)\cos(-\alpha)} $$

Вспомним, что синус - нечетная функция, а косинус - четная:
$ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $
$ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $

Подставим эти соотношения в наше выражение: $$ \frac{(-\sin(\alpha))^3 + (\cos(\alpha))^3}{1 - (-\sin(\alpha))(\cos(\alpha))} = \frac{-\sin^3(\alpha) + \cos^3(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{\cos^3(\alpha) - \sin^3(\alpha)}{1 + \sin(\alpha)\cos(\alpha)} $$

Теперь применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $ к числителю, где $ a = \cos(\alpha) $ и $ b = \sin(\alpha) $: $$ \cos^3(\alpha) - \sin^3(\alpha) = (\cos(\alpha) - \sin(\alpha))(\cos^2(\alpha) + \cos(\alpha)\sin(\alpha) + \sin^2(\alpha)) $$

Во втором множителе сгруппируем $ \sin^2(\alpha) $ и $ \cos^2(\alpha) $ и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $: $$ (\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) + \cos(\alpha)\sin(\alpha) = 1 + \sin(\alpha)\cos(\alpha) $$

Подставим полученное выражение обратно в дробь: $$ \frac{(\cos(\alpha) - \sin(\alpha))(1 + \sin(\alpha)\cos(\alpha))}{1 + \sin(\alpha)\cos(\alpha)} $$

Сократим дробь на общий множитель $ (1 + \sin(\alpha)\cos(\alpha)) $: $$ \cos(\alpha) - \sin(\alpha) $$

Ответ: $ \cos(\alpha) - \sin(\alpha) $

2)

Упростим второе выражение, используя те же свойства тригонометрических функций.

Исходное выражение: $$ \frac{(\sin(-\alpha) + \cos(-\alpha))^2 - 1}{-\sin(-\alpha)} $$

Применяем свойства четности и нечетности: $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $ и $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $.

Подставляем в выражение: $$ \frac{(-\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 - 1}{-(-\sin(\alpha))} = \frac{(\cos(\alpha) - \sin(\alpha))^2 - 1}{\sin(\alpha)} $$

Раскроем квадрат разности в числителе по формуле $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $: $$ (\cos(\alpha) - \sin(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha) - 2\cos(\alpha)\sin(\alpha) + \sin^2(\alpha) $$

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $, перегруппируем слагаемые: $$ (\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)) - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 1 - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $$

Теперь подставим это в числитель дроби: $$ \frac{(1 - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) - 1}{\sin(\alpha)} = \frac{-2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $$

Сокращаем дробь на $ \sin(\alpha) $ (при условии, что $ \sin(\alpha) \neq 0 $): $$ -2\cos(\alpha) $$

Ответ: $ -2\cos(\alpha) $

1020. Доказать тождество:

1) $\cos\alpha\sin(6\pi - \alpha) \cdot (1 + \cot^2(-\alpha)) = \cot(-\alpha);$

2) $\frac{1 - \sin^2(-\alpha)}{\cos(4\pi - \alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha - 2\pi)}{1 - \cos^2(-\alpha)} = \cot\alpha.$

1) Докажем тождество $cos\alpha \cdot sin(6\pi - \alpha) \cdot (1 + ctg^2(-\alpha)) = ctg(-\alpha)$.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого воспользуемся свойствами периодичности тригонометрических функций, свойствами четности/нечетности и основными тригонометрическими тождествами.

1. Упростим $sin(6\pi - \alpha)$. Поскольку период функции синус равен $2\pi$, то $6\pi$ можно отбросить:

$sin(6\pi - \alpha) = sin(3 \cdot 2\pi - \alpha) = sin(-\alpha)$.

Синус – нечетная функция, поэтому $sin(-\alpha) = -sin\alpha$.

2. Упростим выражение в скобках $1 + ctg^2(-\alpha)$. Используем основное тригонометрическое тождество $1 + ctg^2(x) = \frac{1}{sin^2(x)}$:

$1 + ctg^2(-\alpha) = \frac{1}{sin^2(-\alpha)}$.

Так как $sin(-\alpha) = -sin\alpha$, то $sin^2(-\alpha) = (-sin\alpha)^2 = sin^2\alpha$. Следовательно:

$1 + ctg^2(-\alpha) = \frac{1}{sin^2\alpha}$.

3. Подставим упрощенные выражения в левую часть исходного тождества:

$cos\alpha \cdot (-sin\alpha) \cdot \frac{1}{sin^2\alpha} = - \frac{cos\alpha \cdot sin\alpha}{sin^2\alpha}$.

Сократим дробь на $sin\alpha$ (при условии, что $sin\alpha \neq 0$):

$- \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = -ctg\alpha$.

4. Теперь рассмотрим правую часть тождества: $ctg(-\alpha)$.

Котангенс – нечетная функция, поэтому $ctg(-\alpha) = -ctg\alpha$.

Мы получили, что левая часть равна $-ctg\alpha$ и правая часть равна $-ctg\alpha$. Тождество доказано.

Ответ: Левая часть тождества $cos\alpha \cdot sin(6\pi - \alpha) \cdot (1 + ctg^2(-\alpha))$ преобразуется к $-ctg\alpha$. Правая часть $ctg(-\alpha)$ также равна $-ctg\alpha$. Поскольку обе части равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{1 - sin^2(-\alpha)}{cos(4\pi - \alpha)} \cdot \frac{sin(\alpha - 2\pi)}{1 - cos^2(-\alpha)} = ctg\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, упрощая каждый элемент по отдельности.

1. Упростим первую дробь $\frac{1 - sin^2(-\alpha)}{cos(4\pi - \alpha)}$.

Числитель: $sin(-\alpha) = -sin\alpha$ (нечетная функция), поэтому $sin^2(-\alpha) = (-sin\alpha)^2 = sin^2\alpha$. Тогда числитель равен $1 - sin^2\alpha$. По основному тригонометрическому тождеству $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, получаем $1 - sin^2\alpha = cos^2\alpha$.

Знаменатель: $cos(4\pi - \alpha)$. Период косинуса равен $2\pi$, поэтому $cos(4\pi - \alpha) = cos(2 \cdot 2\pi - \alpha) = cos(-\alpha)$. Косинус – четная функция, поэтому $cos(-\alpha) = cos\alpha$.

Таким образом, первая дробь равна $\frac{cos^2\alpha}{cos\alpha} = cos\alpha$.

2. Упростим вторую дробь $\frac{sin(\alpha - 2\pi)}{1 - cos^2(-\alpha)}$.

Числитель: $sin(\alpha - 2\pi)$. Период синуса равен $2\pi$, поэтому $sin(\alpha - 2\pi) = sin\alpha$.

Знаменатель: $1 - cos^2(-\alpha)$. Как мы уже установили, $cos(-\alpha) = cos\alpha$, поэтому $cos^2(-\alpha) = cos^2\alpha$. Знаменатель равен $1 - cos^2\alpha$. По основному тригонометрическому тождеству, $1 - cos^2\alpha = sin^2\alpha$.

Таким образом, вторая дробь равна $\frac{sin\alpha}{sin^2\alpha} = \frac{1}{sin\alpha}$ (при условии, что $sin\alpha \neq 0$).

3. Перемножим полученные упрощенные выражения:

$cos\alpha \cdot \frac{1}{sin\alpha} = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$.

По определению котангенса, $\frac{cos\alpha}{sin\alpha} = ctg\alpha$.

Левая часть тождества равна $ctg\alpha$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: В результате преобразований левая часть тождества $\frac{1 - sin^2(-\alpha)}{cos(4\pi - \alpha)} \cdot \frac{sin(\alpha - 2\pi)}{1 - cos^2(-\alpha)}$ приводится к виду $\frac{cos\alpha}{sin\alpha} = ctg\alpha$, что доказывает верность исходного равенства.

1021. Решить уравнение:

1) $\sin(-x) = 1$;

2) $\cos(-2x) = 0$;

3) $\cos(-2x) = 1$;

4) $\sin(-2x) = 0$;

5) $\cos^2(-x) + \sin(-x) = 2 - \sin^2x$;

6) $1 - \sin^2(-x) + \cos(4\pi - x) = \cos(x - 2\pi)$.

1) Исходное уравнение: $sin(-x) = 1$.
Используем свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sin(x)$:
$-sin(x) = 1$
$sin(x) = -1$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

2) Исходное уравнение: $cos(-2x) = 0$.
Используем свойство четности косинуса $cos(-x) = cos(x)$:
$cos(2x) = 0$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

3) Исходное уравнение: $cos(-2x) = 1$.
Используем свойство четности косинуса $cos(-x) = cos(x)$:
$cos(2x) = 1$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:
$2x = 2\pi n$, где $n \in Z$.
Разделим обе части на 2:
$x = \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \pi n, n \in Z$.

4) Исходное уравнение: $sin(-2x) = 0$.
Используем свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sin(x)$:
$-sin(2x) = 0$
$sin(2x) = 0$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:
$2x = \pi n$, где $n \in Z$.
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

5) Исходное уравнение: $cos^2(-x) + sin(-x) = 2 - sin^2x$.
Упростим левую часть, используя свойства четности косинуса и нечетности синуса:
$cos^2(-x) = (cos(-x))^2 = (cos(x))^2 = cos^2x$
$sin(-x) = -sin(x)$
Подставим в уравнение:
$cos^2x - sin(x) = 2 - sin^2x$
Перенесем все члены с $sin^2x$ в одну сторону:
$cos^2x + sin^2x - sin(x) = 2$
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$:
$1 - sin(x) = 2$
$-sin(x) = 2 - 1$
$-sin(x) = 1$
$sin(x) = -1$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

6) Исходное уравнение: $1 - sin^2(-x) + cos(4\pi - x) = cos(x - 2\pi)$.
Упростим каждый член уравнения, используя свойства тригонометрических функций:
$sin^2(-x) = (sin(-x))^2 = (-sin(x))^2 = sin^2x$
$cos(4\pi - x) = cos(-x) = cos(x)$ (так как период косинуса $2\pi$, а функция четная)
$cos(x - 2\pi) = cos(x)$ (так как период косинуса $2\pi$)
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$1 - sin^2x + cos(x) = cos(x)$
Вычтем $cos(x)$ из обеих частей:
$1 - sin^2x = 0$
Из основного тригонометрического тождества $sin^2x + cos^2x = 1$, следует, что $1 - sin^2x = cos^2x$.
$cos^2x = 0$
$cos(x) = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

1022. Может ли синус отрицательного угла быть числом положительным? Привести пример.

Да, синус отрицательного угла может быть положительным числом.

Это следует из определения и свойств функции синус. Значение синуса угла соответствует ординате (координате y) точки на единичной окружности. Синус положителен в I и II координатных четвертях.

Отрицательные углы откладываются от положительного направления оси Ox по часовой стрелке. Чтобы конечная сторона отрицательного угла оказалась в I или II четверти (где синус положителен), величина угла по модулю должна быть больше $180^\circ$, но меньше $360^\circ$. То есть, если отрицательный угол $\beta$ удовлетворяет неравенству $-360^\circ < \beta < -180^\circ$ (или в радианах $-2\pi < \beta < -\pi$), то его синус будет положительным.

Также это можно показать, используя свойство нечетности синуса: $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$. Чтобы $sin(-\alpha)$ был положительным, то есть $sin(-\alpha) > 0$, необходимо, чтобы $-sin(\alpha) > 0$. Умножив обе части на $-1$, получаем $sin(\alpha) < 0$. Синус отрицателен для углов $\alpha$ в III и IV четвертях. Таким образом, если взять любой угол $\alpha$ из III или IV четверти, то $sin(-\alpha)$ будет положительным.

Пример.

Рассмотрим отрицательный угол $-210^\circ$. Этот угол находится в интервале $(-360^\circ, -180^\circ)$, его конечная сторона лежит во II четверти, где синус положителен.

Вычислим значение синуса, используя формулу нечетности: $sin(-210^\circ) = -sin(210^\circ)$.

Угол $210^\circ$ находится в III четверти. Применим формулу приведения $sin(180^\circ + \alpha) = -sin(\alpha)$: $sin(210^\circ) = sin(180^\circ + 30^\circ) = -sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$.

Тогда: $sin(-210^\circ) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Значение $\frac{1}{2}$ является положительным числом.

Ответ: Да, может. Например, $sin(-210^\circ) = \frac{1}{2}$.

1023. Сравнить с нулём:

1) $\sin(-110^\circ)\cos(-110^\circ)\operatorname{tg}(-110^\circ)$;

2) $\sin(-4)\cos(-5)\operatorname{tg}(-1)$.

1) $sin(-110^\circ)cos(-110^\circ)tg(-110^\circ)$
Для определения знака выражения воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций. Синус и тангенс являются нечетными функциями ($sin(-x) = -sin(x)$, $tg(-x) = -tg(x)$), а косинус — четной функцией ($cos(-x) = cos(x)$).
Преобразуем исходное выражение:
$sin(-110^\circ)cos(-110^\circ)tg(-110^\circ) = (-sin(110^\circ)) \cdot (cos(110^\circ)) \cdot (-tg(110^\circ)) = sin(110^\circ)cos(110^\circ)tg(110^\circ)$.
Используя основное тригонометрическое тождество для тангенса $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$, получаем:
$sin(110^\circ)cos(110^\circ) \cdot \frac{sin(110^\circ)}{cos(110^\circ)}$.
Поскольку $cos(110^\circ) \ne 0$, мы можем сократить выражение:
$sin(110^\circ) \cdot sin(110^\circ) = sin^2(110^\circ)$.
Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, всегда положителен. Так как $sin(110^\circ) \ne 0$ (поскольку $110^\circ$ не кратно $180^\circ$), то $sin^2(110^\circ) > 0$.
Следовательно, исходное выражение больше нуля.
Ответ: > 0

2) $sin(-4)cos(-5)tg(-1)$
Аргументы тригонометрических функций даны в радианах, так как отсутствует знак градуса. Применим свойства четности и нечетности:
$sin(-4)cos(-5)tg(-1) = (-sin(4)) \cdot (cos(5)) \cdot (-tg(1)) = sin(4)cos(5)tg(1)$.
Определим знак каждого множителя, найдя соответствующую ему четверть на тригонометрической окружности. Используем приближенные значения констант: $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.
- Для $sin(4)$: угол 4 радиана находится в III четверти, так как $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (что соответствует $3.14 < 4 < 4.71$). В III четверти синус отрицателен, поэтому $sin(4) < 0$.
- Для $cos(5)$: угол 5 радиан находится в IV четверти, так как $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$ (что соответствует $4.71 < 5 < 6.28$). В IV четверти косинус положителен, поэтому $cos(5) > 0$.
- Для $tg(1)$: угол 1 радиан находится в I четверти, так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$ (что соответствует $0 < 1 < 1.57$). В I четверти тангенс положителен, поэтому $tg(1) > 0$.
Знак всего произведения равен произведению знаков множителей:
$(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.
Следовательно, выражение меньше нуля.
Ответ: < 0