Страница 292 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1002. Доказать тождество:

1) $(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = \sin^2 \alpha;$

2) $(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = \cos^2 \alpha;$

3) $\frac{\sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} = \operatorname{tg}^2 \alpha;$

4) $\frac{\cos^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} = \operatorname{ctg}^2 \alpha;$

5) $\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} + \sin^2 \alpha = 1;$

6) $\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha} + \cos^2 \alpha = 1.$

1) Докажем тождество $(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha) = \sin^2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, применив формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha) = 1^2 - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.

Таким образом, левая часть равна правой: $\sin^2\alpha = \sin^2\alpha$. Тождество доказано.

Ответ:

2) Докажем тождество $(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) = \cos^2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулу разности квадратов:

$(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) = 1^2 - \sin^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, имеем $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

Таким образом, левая часть равна правой: $\cos^2\alpha = \cos^2\alpha$. Тождество доказано.

Ответ:

3) Докажем тождество $\frac{\sin^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha} = \text{tg}^2\alpha$.

Преобразуем левую часть. В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

$\frac{\sin^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.

По определению тангенса $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, следовательно $\text{tg}^2\alpha = \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2 = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.

Получили, что левая часть равна правой: $\text{tg}^2\alpha = \text{tg}^2\alpha$. Тождество доказано.

Ответ:

4) Докажем тождество $\frac{\cos^2\alpha}{1 - \cos^2\alpha} = \text{ctg}^2\alpha$.

Преобразуем левую часть. В знаменателе используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.

$\frac{\cos^2\alpha}{1 - \cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

По определению котангенса $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, следовательно $\text{ctg}^2\alpha = \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

Получили, что левая часть равна правой: $\text{ctg}^2\alpha = \text{ctg}^2\alpha$. Тождество доказано.

Ответ:

5) Докажем тождество $\frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha} + \sin^2\alpha = 1$.

Преобразуем левую часть. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Подставим это выражение в первую дробь:

$\frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{\cos^2\alpha}} = \cos^2\alpha$.

Теперь все выражение принимает вид:

$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha$.

По основному тригонометрическому тождеству, $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

Левая часть равна правой: $1 = 1$. Тождество доказано.

Ответ:

6) Докажем тождество $\frac{1}{1 + \text{ctg}^2\alpha} + \cos^2\alpha = 1$.

Преобразуем левую часть. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.

Подставим это выражение в первую дробь:

$\frac{1}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{\sin^2\alpha}} = \sin^2\alpha$.

Теперь все выражение принимает вид:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$.

По основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Левая часть равна правой: $1 = 1$. Тождество доказано.

Ответ:

1003. Упростить выражение:

1) $\cos \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha - 2 \sin \alpha$;

2) $\cos \alpha - \sin \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha$;

3) $\frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}$;

4) $\frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin \alpha}$.

1) Для упрощения выражения $\cos \alpha \cdot \tg \alpha - 2 \sin \alpha$ воспользуемся определением тангенса: $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Подставим это определение в исходное выражение:

$\cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - 2 \sin \alpha$

Сократим $\cos \alpha$ в первом слагаемом (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):

$\sin \alpha - 2 \sin \alpha$

Приведем подобные слагаемые:

$\sin \alpha - 2 \sin \alpha = -\sin \alpha$

Ответ: $-\sin \alpha$

2) Для упрощения выражения $\cos \alpha - \sin \alpha \cdot \ctg \alpha$ воспользуемся определением котангенса: $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

Подставим это определение в исходное выражение:

$\cos \alpha - \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Сократим $\sin \alpha$ во втором слагаемом (при условии, что $\sin \alpha \neq 0$):

$\cos \alpha - \cos \alpha$

Выполним вычитание:

$\cos \alpha - \cos \alpha = 0$

Ответ: $0$

3) Для упрощения выражения $\frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$.

Подставим это в числитель дроби:

$\frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}$

Разложим числитель на множители как разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 + \cos \alpha}$

Сократим дробь на $(1 + \cos \alpha)$ (при условии, что $1 + \cos \alpha \neq 0$):

$1 - \cos \alpha$

Ответ: $1 - \cos \alpha$

4) Для упрощения выражения $\frac{\cos^2 \alpha}{1 - \sin \alpha}$ снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Подставим это в числитель дроби:

$\frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \sin \alpha}$

Разложим числитель на множители как разность квадратов:

$\frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{1 - \sin \alpha}$

Сократим дробь на $(1 - \sin \alpha)$ (при условии, что $1 - \sin \alpha \neq 0$):

$1 + \sin \alpha$

Ответ: $1 + \sin \alpha$

1004. Упростить выражение и найти его значение:

1) $\frac{\sin^2 \alpha - 1}{1 - \cos^2 \alpha}$ при $\alpha = \frac{\pi}{4}$;

2) $\cos^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha + \sin^2 \alpha$ при $\alpha = \frac{\pi}{6}$;

3) $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1$ при $\alpha = \frac{\pi}{3}$;

4) $\cos^2 \alpha + \text{tg}^2 \alpha \text{ctg}^2 \alpha + \sin^2 \alpha$ при $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

1) Сначала упростим выражение. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, мы можем преобразовать числитель и знаменатель. Из тождества следует, что $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$ и $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Подставим эти преобразования в исходную дробь: $\frac{\sin^2\alpha - 1}{1 - \cos^2\alpha} = \frac{-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = -\left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2$.
Так как $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, выражение упрощается до $-\cot^2\alpha$.
Теперь найдем значение этого выражения при $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Знаем, что $\cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
Следовательно, $-\cot^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = -(1)^2 = -1$.
Ответ: -1

2) Упростим выражение $\cos^2\alpha + \cot^2\alpha + \sin^2\alpha$. Сгруппируем первое и третье слагаемые: $(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + \cot^2\alpha$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$. Таким образом, выражение упрощается до $1 + \cot^2\alpha$.
Теперь найдем значение этого выражения при $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Знаем, что $\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$.
Следовательно, $1 + \cot^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.
Ответ: 4

3) Упростим выражение $\frac{1}{\cos^2\alpha} - 1$. Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$. Из этого тождества напрямую следует, что $\frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 = \tan^2\alpha$.
Теперь найдем значение выражения при $\alpha = \frac{\pi}{3}$. Знаем, что $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$.
Следовательно, $\tan^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = (\sqrt{3})^2 = 3$.
Ответ: 3

4) Упростим выражение $\cos^2\alpha + \tan^2\alpha\cot^2\alpha + \sin^2\alpha$. Рассмотрим произведение $\tan^2\alpha\cot^2\alpha$. Так как $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$ (для всех $\alpha$, где тангенс и котангенс определены), то $\tan^2\alpha\cot^2\alpha = (\tan\alpha\cot\alpha)^2 = 1^2 = 1$.
Подставим это значение в исходное выражение: $\cos^2\alpha + 1 + \sin^2\alpha$.
Сгруппируем слагаемые: $(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + 1$.
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем: $1 + 1 = 2$.
Результат не зависит от значения $\alpha$. Таким образом, при $\alpha = \frac{\pi}{3}$ значение выражения равно 2.
Ответ: 2

1005. Доказать тождество:

1) $(1 - \sin^2\alpha)(1 + \tan^2\alpha) = 1;$

2) $\sin^2\alpha(1 + \cot^2\alpha) - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha.$

1) Докажем тождество $(1 - \sin^2\alpha)(1 + \text{tg}^2\alpha) = 1$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Для этого воспользуемся основными тригонометрическими тождествами.

Первое тождество, которое мы применим, это основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Из него следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

Второе тождество связывает тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Теперь подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$(1 - \sin^2\alpha)(1 + \text{tg}^2\alpha) = \cos^2\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha}$

Сокращаем $\cos^2\alpha$ в числителе и знаменателе, при условии, что $\cos\alpha \neq 0$ (что необходимо для существования $\text{tg}\alpha$):

$\cos^2\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1$

Мы получили, что левая часть тождества равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $(1 - \sin^2\alpha)(1 + \text{tg}^2\alpha) = 1$ доказано.

2) Докажем тождество $\sin^2\alpha(1 + \text{ctg}^2\alpha) - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.

Преобразуем левую часть выражения, используя тригонометрические тождества.

Используем тождество, связывающее котангенс и синус: $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.

Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:

$\sin^2\alpha(1 + \text{ctg}^2\alpha) - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha \cdot \frac{1}{\sin^2\alpha} - \cos^2\alpha$

Сокращаем $\sin^2\alpha$, при условии, что $\sin\alpha \neq 0$ (что необходимо для существования $\text{ctg}\alpha$):

$\sin^2\alpha \cdot \frac{1}{\sin^2\alpha} - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$

Теперь снова применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.

Таким образом, левая часть равенства равна $\sin^2\alpha$, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\sin^2\alpha(1 + \text{ctg}^2\alpha) - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$ доказано.

1006. Упростить выражение:

1) $(1 + \text{tg}^2\alpha) \cos^2\alpha - 1;$

2) $1 - \sin^2\alpha (1 + \text{ctg}^2\alpha);$

3) $1 + \text{tg}^2\alpha + \frac{1}{\sin^2\alpha};$

4) $\frac{1+\text{tg}^2\alpha}{1+\text{ctg}^2\alpha}.$

1) Для упрощения выражения $(1 + \text{tg}^2\alpha) \cos^2\alpha - 1$ воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Подставим это тождество в исходное выражение:

$(1 + \text{tg}^2\alpha) \cos^2\alpha - 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha - 1$

Сократив $\cos^2\alpha$, получаем:

$1 - 1 = 0$

Ответ: $0$

2) Для упрощения выражения $1 - \sin^2\alpha (1 + \text{ctg}^2\alpha)$ воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.

Подставим это тождество в выражение:

$1 - \sin^2\alpha (1 + \text{ctg}^2\alpha) = 1 - \sin^2\alpha \cdot \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Сократив $\sin^2\alpha$, получаем:

$1 - 1 = 0$

Ответ: $0$

3) Упростим выражение $1 + \text{tg}^2\alpha + \frac{1}{\sin^2\alpha}$.

Сначала используем тождество $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$:

$1 + \text{tg}^2\alpha + \frac{1}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha} + \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\cos^2\alpha \sin^2\alpha$:

$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$\frac{1}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha}$

Ответ: $\frac{1}{\cos^2\alpha \sin^2\alpha}$

4) Упростим выражение $\frac{1 + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha}$.

Воспользуемся тождествами $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ и $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.

Подставим их в дробь:

$\frac{1 + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = \frac{\frac{1}{\cos^2\alpha}}{\frac{1}{\sin^2\alpha}}$

Для упрощения полученной дроби, деление заменяем на умножение, перевернув знаменатель:

$\frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot \sin^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

По определению тангенса $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, следовательно, $\text{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.

Ответ: $\text{tg}^2\alpha$

1007. Доказать тождество:

1) $(1 - \cos2\alpha)(1 + \cos2\alpha) = \sin^2 2\alpha;$

2) $\frac{\sin\alpha - 1}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{1 + \sin\alpha};$

3) $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha;$

4) $(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)^2 + 2\cos^2\alpha \sin^2\alpha = \sin^4\alpha + \cos^4\alpha;$

5) $\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} + \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha};$

6) $\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha};$

7) $\frac{1}{1 + \text{tg}^2\alpha} + \frac{1}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = 1;$

8) $\text{tg}^2\alpha - \sin^2\alpha = \text{tg}^2\alpha \sin^2\alpha.$

1) $(1 - \cos 2\alpha)(1 + \cos 2\alpha) = \sin^2 2\alpha$

Для доказательства преобразуем левую часть тождества. Выражение в левой части представляет собой произведение разности и суммы двух чисел, которое равно разности их квадратов по формуле $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Применим эту формулу, где $a=1$ и $b=\cos 2\alpha$:

$(1 - \cos 2\alpha)(1 + \cos 2\alpha) = 1^2 - (\cos 2\alpha)^2 = 1 - \cos^2 2\alpha$.

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Для нашего случая, где $x = 2\alpha$:

$1 - \cos^2 2\alpha = \sin^2 2\alpha$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(1 - \cos 2\alpha)(1 + \cos 2\alpha) = 1 - \cos^2 2\alpha = \sin^2 2\alpha$.

2) $\frac{\sin\alpha - 1}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{1 + \sin\alpha}$

Для проверки данного равенства преобразуем его левую часть (ЛЧ). Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$:

ЛЧ = $\frac{\sin\alpha - 1}{1 - \sin^2\alpha}$.

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

ЛЧ = $\frac{\sin\alpha - 1}{(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)}$.

В числителе вынесем знак минус за скобки: $\sin\alpha - 1 = -(1 - \sin\alpha)$.

ЛЧ = $\frac{-(1 - \sin\alpha)}{(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha)}$.

Сократим дробь на $(1 - \sin\alpha)$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 1$, что соответствует области допустимых значений исходного выражения, где $\cos\alpha \neq 0$):

ЛЧ = $\frac{-1}{1 + \sin\alpha}$.

Правая часть (ПЧ) равна $\frac{1}{1 + \sin\alpha}$. Сравнивая преобразованную левую часть и правую часть, видим, что ЛЧ = -ПЧ. Следовательно, исходное равенство не является тождеством. Вероятно, в условии допущена опечатка. Верным было бы тождество $\frac{1 - \sin\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{1 + \sin\alpha}$ или $\frac{\sin\alpha - 1}{\cos^2\alpha} = -\frac{1}{1 + \sin\alpha}$.

Ответ: Равенство не является тождеством, так как $\frac{\sin\alpha - 1}{\cos^2\alpha} = -\frac{1}{1 + \sin\alpha} \neq \frac{1}{1 + \sin\alpha}$.

3) $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Преобразуем левую часть, представив ее как разность квадратов:

$\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha)^2 - (\sin^2\alpha)^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \cos^2\alpha$ и $b = \sin^2\alpha$:

$(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

Подставим это значение в выражение:

$(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) \cdot 1 = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

4) $(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)^2 + 2\cos^2\alpha \sin^2\alpha = \sin^4\alpha + \cos^4\alpha$

Преобразуем левую часть. Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)^2 = (\sin^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + (\cos^2\alpha)^2 = \sin^4\alpha - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha$.

Подставим это в исходное выражение:

$(\sin^4\alpha - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha) + 2\cos^2\alpha \sin^2\alpha$.

Приведем подобные слагаемые:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha + (- 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + 2\cos^2\alpha \sin^2\alpha) = \sin^4\alpha + \cos^4\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)^2 + 2\cos^2\alpha \sin^2\alpha = \sin^4\alpha - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha + 2\cos^2\alpha \sin^2\alpha = \sin^4\alpha + \cos^4\alpha$.

5) $\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} + \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha}$

Преобразуем левую часть, приведя дроби к общему знаменателю $(1 + \cos\alpha)\sin\alpha$:

$\frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} + \frac{(1 + \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)} = \frac{\sin^2\alpha + (1 + \cos\alpha)^2}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{\sin^2\alpha + 1 + 2\cos\alpha + \cos^2\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha}$.

Сгруппируем слагаемые в числителе и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\frac{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 1 + 2\cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{1 + 1 + 2\cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{2 + 2\cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha}$.

Вынесем в числителе 2 за скобки:

$\frac{2(1 + \cos\alpha)}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha}$.

Сократим дробь на $(1 + \cos\alpha)$:

$\frac{2}{\sin\alpha}$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} + \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + (1 + \cos\alpha)^2}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{2 + 2\cos\alpha}{(1 + \cos\alpha)\sin\alpha} = \frac{2}{\sin\alpha}$.

6) $\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$

Докажем тождество, преобразовав левую часть. Умножим числитель и знаменатель левой части на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 + \cos\alpha)$:

$\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)}$.

В знаменателе получилась разность квадратов:

$\frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{1 - \cos^2\alpha}$.

Используя тождество $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$, заменим знаменатель:

$\frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\sin^2\alpha}$.

Сократим дробь на $\sin\alpha$ (при условии $\sin\alpha \neq 0$):

$\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = \frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)} = \frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\sin^2\alpha} = \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$.

7) $\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} + \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = 1$

Для доказательства используем тригонометрические тождества, связывающие тангенс и котангенс с секансом и косекансом:

$1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \sec^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

$1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \csc^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\alpha}} + \frac{1}{\frac{1}{\sin^2\alpha}}$.

Упростим полученное выражение:

$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} + \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

8) $\operatorname{tg}^2\alpha - \sin^2\alpha = \operatorname{tg}^2\alpha \sin^2\alpha$

Преобразуем левую часть. Запишем тангенс через синус и косинус: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

$\operatorname{tg}^2\alpha - \sin^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \sin^2\alpha$.

Вынесем общий множитель $\sin^2\alpha$ за скобки:

$\sin^2\alpha \left( \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 \right)$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\sin^2\alpha \left( \frac{1 - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} \right)$.

Используем тождество $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$ в числителе дроби в скобках:

$\sin^2\alpha \left( \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \right)$.

По определению, $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \operatorname{tg}^2\alpha$. Подставим это обратно в выражение:

$\sin^2\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\operatorname{tg}^2\alpha - \sin^2\alpha = \sin^2\alpha \left( \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 \right) = \sin^2\alpha \frac{1 - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \sin^2\alpha \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \operatorname{tg}^2\alpha \sin^2\alpha$.

1008. Показать, что значение выражения $(a \sin\beta + b \cos\beta)^2 + (b \sin\beta - a \cos\beta)^2$ не зависит от величины угла $\beta$.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от величины угла $ \beta $, нужно это выражение упростить.

Исходное выражение: $(a \sin\beta + b \cos\beta)^2 + (b \sin\beta - a \cos\beta)^2$.

Раскроем каждую из скобок, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Для первой скобки:$(a \sin\beta + b \cos\beta)^2 = (a \sin\beta)^2 + 2(a \sin\beta)(b \cos\beta) + (b \cos\beta)^2 = a^2 \sin^2\beta + 2ab \sin\beta \cos\beta + b^2 \cos^2\beta$.

Для второй скобки:$(b \sin\beta - a \cos\beta)^2 = (b \sin\beta)^2 - 2(b \sin\beta)(a \cos\beta) + (a \cos\beta)^2 = b^2 \sin^2\beta - 2ab \sin\beta \cos\beta + a^2 \cos^2\beta$.

Теперь сложим полученные выражения:$(a^2 \sin^2\beta + 2ab \sin\beta \cos\beta + b^2 \cos^2\beta) + (b^2 \sin^2\beta - 2ab \sin\beta \cos\beta + a^2 \cos^2\beta)$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $2ab \sin\beta \cos\beta$ и $-2ab \sin\beta \cos\beta$ взаимно уничтожаются:$a^2 \sin^2\beta + b^2 \cos^2\beta + b^2 \sin^2\beta + a^2 \cos^2\beta$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами $a^2$ и $b^2$:$(a^2 \sin^2\beta + a^2 \cos^2\beta) + (b^2 \cos^2\beta + b^2 \sin^2\beta)$.

Вынесем общие множители $a^2$ и $b^2$ за скобки:$a^2(\sin^2\beta + \cos^2\beta) + b^2(\cos^2\beta + \sin^2\beta)$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$.

Подставим значение тождества в наше выражение:$a^2(1) + b^2(1) = a^2 + b^2$.

Полученное выражение $a^2 + b^2$ является константой и не содержит угла $\beta$. Таким образом, мы показали, что значение исходного выражения не зависит от величины угла $\beta$.

Ответ: В результате преобразований получено выражение $a^2 + b^2$, которое не зависит от угла $\beta$, что и требовалось доказать.

1009. 1) Выразить $sin^4\alpha - sin^2\alpha + cos^2\alpha$ через $cos\alpha$.

2) Выразить $cos^4\alpha - cos^2\alpha + sin^2\alpha$ через $sin\alpha$.

1) Для того чтобы выразить данное выражение через $cos\alpha$, мы будем использовать основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Из этого тождества мы можем выразить $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$.
Рассмотрим исходное выражение: $sin^4\alpha - sin^2\alpha + cos^2\alpha$.
Сначала сгруппируем первые два члена и вынесем $sin^2\alpha$ за скобки:
$sin^2\alpha(sin^2\alpha - 1) + cos^2\alpha$
Из основного тригонометрического тождества также следует, что $sin^2\alpha - 1 = -cos^2\alpha$. Подставим это в наше выражение:
$sin^2\alpha(-cos^2\alpha) + cos^2\alpha$
Теперь заменим оставшийся $sin^2\alpha$ на $1 - cos^2\alpha$:
$(1 - cos^2\alpha)(-cos^2\alpha) + cos^2\alpha$
Раскроем скобки, умножив $(-cos^2\alpha)$ на каждый член в скобках:
$-cos^2\alpha + cos^4\alpha + cos^2\alpha$
Сократим подобные слагаемые ($-cos^2\alpha$ и $+cos^2\alpha$ взаимно уничтожаются):
$cos^4\alpha$
Ответ: $cos^4\alpha$

2) Аналогично первому пункту, для выражения через $sin\alpha$ мы используем тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Из него мы выразим $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$.
Рассмотрим исходное выражение: $cos^4\alpha - cos^2\alpha + sin^2\alpha$.
Сгруппируем первые два члена и вынесем $cos^2\alpha$ за скобки:
$cos^2\alpha(cos^2\alpha - 1) + sin^2\alpha$
Из основного тригонометрического тождества следует, что $cos^2\alpha - 1 = -sin^2\alpha$. Подставим это в наше выражение:
$cos^2\alpha(-sin^2\alpha) + sin^2\alpha$
Теперь заменим оставшийся $cos^2\alpha$ на $1 - sin^2\alpha$:
$(1 - sin^2\alpha)(-sin^2\alpha) + sin^2\alpha$
Раскроем скобки, умножив $(-sin^2\alpha)$ на каждый член в скобках:
$-sin^2\alpha + sin^4\alpha + sin^2\alpha$
Сократим подобные слагаемые ($-sin^2\alpha$ и $+sin^2\alpha$ взаимно уничтожаются):
$sin^4\alpha$
Ответ: $sin^4\alpha$

1010. Известно, что $tg\alpha + ctg\alpha = 3$. Найти $tg^2\alpha + ctg^2\alpha$.

По условию задачи нам дано равенство:

$ \text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = 3 $

Необходимо найти значение выражения $ \text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha $.

Для решения этой задачи возведем обе части исходного равенства в квадрат:

$ (\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha)^2 = 3^2 $

Применим формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ к левой части уравнения:

$ \text{tg}^2\alpha + 2 \cdot \text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha + \text{ctg}^2\alpha = 9 $

Мы знаем, что тангенс и котангенс одного и того же угла являются взаимно обратными величинами, поэтому их произведение равно единице. Используем основное тригонометрическое тождество:

$ \text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1 $

Подставим это значение в наше уравнение:

$ \text{tg}^2\alpha + 2 \cdot 1 + \text{ctg}^2\alpha = 9 $

$ \text{tg}^2\alpha + 2 + \text{ctg}^2\alpha = 9 $

Теперь, чтобы найти значение искомого выражения $ \text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha $, вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$ \text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha = 9 - 2 $

$ \text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha = 7 $

Ответ: 7

1011. Решить уравнение:

1) $2\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x = 1;$

2) $2\sin^2 x + 3\cos^2 x - 2 = 0;$

3) $3\cos^2 x - 2\sin x = 3 - 3\sin^2 x;$

4) $\cos^2 x - \sin^2 x = 2\sin x - 1 - 2\sin^2 x.$

1) $2\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Подставим его в уравнение:

$2\sin x + 1 = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$2\sin x = 0$

Разделим обе части на 2:

$\sin x = 0$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin^2 x + 3\cos^2 x - 2 = 0$

Чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции, используем основное тригонометрическое тождество и выразим $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2\sin^2 x + 3(1 - \sin^2 x) - 2 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2\sin^2 x + 3 - 3\sin^2 x - 2 = 0$

$1 - \sin^2 x = 0$

Отсюда получаем:

$\sin^2 x = 1$

Это уравнение распадается на два: $\sin x = 1$ и $\sin x = -1$.

Решения можно записать по отдельности или объединить в одну серию. Объединенное решение имеет вид:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $3\cos^2 x - 2\sin x = 3 - 3\sin^2 x$

Перенесем член $-3\sin^2 x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$3\cos^2 x + 3\sin^2 x - 2\sin x = 3$

В левой части вынесем 3 за скобки:

$3(\cos^2 x + \sin^2 x) - 2\sin x = 3$

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$:

$3 \cdot 1 - 2\sin x = 3$

$3 - 2\sin x = 3$

Вычтем 3 из обеих частей уравнения:

$-2\sin x = 0$

$\sin x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos^2 x - \sin^2 x = 2\sin x - 1 - 2\sin^2 x$

Приведем уравнение к одной тригонометрической функции, выразив $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$ с помощью тождества $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим в уравнение:

$(1 - \sin^2 x) - \sin^2 x = 2\sin x - 1 - 2\sin^2 x$

Упростим левую часть:

$1 - 2\sin^2 x = 2\sin x - 1 - 2\sin^2 x$

Прибавим $2\sin^2 x$ к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от этого члена:

$1 = 2\sin x - 1$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $\sin x$. Перенесем -1 в левую часть:

$1 + 1 = 2\sin x$

$2 = 2\sin x$

Разделим обе части на 2:

$\sin x = 1$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.