Страница 293 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1012. Найти значение выражения $ \operatorname{tg}^2 \alpha + \frac{1}{\sin \alpha} \cdot \frac{1}{\cos \alpha} + \operatorname{ctg}^2 \alpha $, если $ \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = 5 $.

Для решения данной задачи мы будем использовать данное нам условие $\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = 5$ для нахождения значений отдельных частей искомого выражения. Искомое выражение: $\text{tg}^2\alpha + \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} + \text{ctg}^2\alpha$.

1. Найдем значение выражения $\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Для этого преобразуем левую часть данного нам равенства, используя определения тангенса и котангенса: $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

$\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin\alpha\cos\alpha$:

$\frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Так как по условию $\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = 5$, то и $\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} = 5$. Мы нашли значение среднего члена искомого выражения.

2. Найдем значение выражения $\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha$.

Для этого возведем обе части исходного равенства $\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = 5$ в квадрат:

$(\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha)^2 = 5^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$\text{tg}^2\alpha + 2 \cdot \text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha + \text{ctg}^2\alpha = 25$

Мы знаем, что произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1$. Подставим это значение в уравнение:

$\text{tg}^2\alpha + 2 \cdot 1 + \text{ctg}^2\alpha = 25$

$\text{tg}^2\alpha + 2 + \text{ctg}^2\alpha = 25$

Отсюда выразим сумму квадратов тангенса и котангенса:

$\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha = 25 - 2 = 23$.

3. Найдем значение исходного выражения.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение. Исходное выражение можно сгруппировать следующим образом:

$(\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha) + \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Подставляем найденные значения: $23 + 5 = 28$.

Ответ: 28

1013. Найти значение выражения $ \sin \alpha \cos \alpha $, если $ \sin \alpha - \cos \alpha = 0,6 $.

Для нахождения значения выражения $ \sin\alpha\cos\alpha $ воспользуемся данным равенством $ \sin\alpha - \cos\alpha = 0,6 $ и основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Возведем обе части данного равенства в квадрат:

$ (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 0,6^2 $

Применим формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ для левой части уравнения:

$ \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 0,36 $

Сгруппируем слагаемые в левой части:

$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,36 $

Заменим сумму $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha $ на 1, согласно основному тригонометрическому тождеству:

$ 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,36 $

Теперь из полученного уравнения выразим искомое произведение $ \sin\alpha\cos\alpha $:

$ -2\sin\alpha\cos\alpha = 0,36 - 1 $

$ -2\sin\alpha\cos\alpha = -0,64 $

Разделим обе части на -2:

$ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{-0,64}{-2} $

$ \sin\alpha\cos\alpha = 0,32 $

Ответ: 0,32.

1014. Найти значение выражения $cos^3 \alpha - sin^3 \alpha$, если $cos \alpha - sin \alpha = 0,2$.

Для нахождения значения выражения $cos^3\alpha - sin^3\alpha$ воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = cos\alpha$ и $b = sin\alpha$:
$cos^3\alpha - sin^3\alpha = (cos\alpha - sin\alpha)(cos^2\alpha + cos\alpha sin\alpha + sin^2\alpha)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1$, мы можем упростить второй множитель:
$cos^2\alpha + cos\alpha sin\alpha + sin^2\alpha = (sin^2\alpha + cos^2\alpha) + sin\alpha cos\alpha = 1 + sin\alpha cos\alpha$.

Таким образом, исходное выражение принимает вид:
$cos^3\alpha - sin^3\alpha = (cos\alpha - sin\alpha)(1 + sin\alpha cos\alpha)$.

По условию задачи нам дано, что $cos\alpha - sin\alpha = 0,2$. Чтобы найти значение выражения, нам осталось определить значение произведения $sin\alpha cos\alpha$.

Для этого возведем в квадрат обе части известного нам равенства:
$(cos\alpha - sin\alpha)^2 = (0,2)^2$
$cos^2\alpha - 2sin\alpha cos\alpha + sin^2\alpha = 0,04$.

Снова применяя основное тригонометрическое тождество, получаем:
$(cos^2\alpha + sin^2\alpha) - 2sin\alpha cos\alpha = 0,04$
$1 - 2sin\alpha cos\alpha = 0,04$.

Из этого уравнения находим $sin\alpha cos\alpha$:
$2sin\alpha cos\alpha = 1 - 0,04$
$2sin\alpha cos\alpha = 0,96$
$sin\alpha cos\alpha = \frac{0,96}{2} = 0,48$.

Теперь у нас есть все необходимые значения. Подставим их в преобразованное выражение:
$cos^3\alpha - sin^3\alpha = (cos\alpha - sin\alpha)(1 + sin\alpha cos\alpha) = 0,2 \cdot (1 + 0,48) = 0,2 \cdot 1,48 = 0,296$.

Ответ: 0,296

1015. Доказать тождество:

1) $\sin^3\alpha(1+\operatorname{ctg}\alpha)+\cos^3\alpha(1+\operatorname{tg}\alpha)=\sin\alpha+\cos\alpha$;

2) $1-(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)=3\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha$;

3) $\sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}} - \sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}} = -2\operatorname{tg}\alpha$, $90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}$;

4) $\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} - \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}} = 2\operatorname{ctg}\alpha$, $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$.

1) Докажем тождество $sin^3\alpha(1 + ctg\alpha) + cos^3\alpha(1 + tg\alpha) = sin\alpha + cos\alpha$.
Преобразуем левую часть равенства. Для этого заменим котангенс и тангенс через синус и косинус, используя формулы $ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$ и $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$.
$sin^3\alpha(1 + \frac{cos\alpha}{sin\alpha}) + cos^3\alpha(1 + \frac{sin\alpha}{cos\alpha}) = sin^3\alpha(\frac{sin\alpha + cos\alpha}{sin\alpha}) + cos^3\alpha(\frac{cos\alpha + sin\alpha}{cos\alpha})$
Сократим $sin\alpha$ в первом слагаемом и $cos\alpha$ во втором:
$sin^2\alpha(sin\alpha + cos\alpha) + cos^2\alpha(sin\alpha + cos\alpha)$
Вынесем общий множитель $(sin\alpha + cos\alpha)$ за скобки:
$(sin^2\alpha + cos^2\alpha)(sin\alpha + cos\alpha)$
Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, получаем:
$1 \cdot (sin\alpha + cos\alpha) = sin\alpha + cos\alpha$
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $1 - (sin^6\alpha + cos^6\alpha) = 3sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha$.
Преобразуем выражение в скобках в левой части, представив его как сумму кубов по формуле $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = sin^2\alpha$ и $b = cos^2\alpha$.
$sin^6\alpha + cos^6\alpha = (sin^2\alpha)^3 + (cos^2\alpha)^3 = (sin^2\alpha + cos^2\alpha)((sin^2\alpha)^2 - sin^2\alpha cos^2\alpha + (cos^2\alpha)^2)$
Так как $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, выражение упрощается до:
$sin^4\alpha - sin^2\alpha cos^2\alpha + cos^4\alpha$
Сгруппируем $sin^4\alpha + cos^4\alpha$ и дополним до полного квадрата суммы:
$sin^4\alpha + cos^4\alpha = (sin^2\alpha)^2 + (cos^2\alpha)^2 = (sin^2\alpha + cos^2\alpha)^2 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha = 1^2 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha$
Подставим это обратно в выражение для суммы шестых степеней:
$sin^6\alpha + cos^6\alpha = (1 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha) - sin^2\alpha cos^2\alpha = 1 - 3sin^2\alpha cos^2\alpha$
Теперь подставим полученное выражение в исходное тождество:
$1 - (1 - 3sin^2\alpha cos^2\alpha) = 1 - 1 + 3sin^2\alpha cos^2\alpha = 3sin^2\alpha cos^2\alpha$
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $\sqrt{\frac{1+sin\alpha}{1-sin\alpha}} - \sqrt{\frac{1-sin\alpha}{1+sin\alpha}} = -2tg\alpha$ при $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{\sqrt{(1+sin\alpha)^2} - \sqrt{(1-sin\alpha)^2}}{\sqrt{(1-sin\alpha)(1+sin\alpha)}} = \frac{|1+sin\alpha| - |1-sin\alpha|}{\sqrt{1-sin^2\alpha}}$
Знаменатель равен $\sqrt{cos^2\alpha} = |cos\alpha|$.
Рассмотрим интервал $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. В этом интервале (II четверть) $sin\alpha > 0$ и $cos\alpha < 0$.
Поскольку $-1 \le sin\alpha \le 1$ для любого $\alpha$, то выражения $1+sin\alpha$ и $1-sin\alpha$ всегда неотрицательны. Следовательно, $|1+sin\alpha| = 1+sin\alpha$ и $|1-sin\alpha| = 1-sin\alpha$.
В знаменателе $|cos\alpha| = -cos\alpha$, так как во II четверти косинус отрицателен.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(1+sin\alpha) - (1-sin\alpha)}{-cos\alpha} = \frac{1+sin\alpha - 1+sin\alpha}{-cos\alpha} = \frac{2sin\alpha}{-cos\alpha}$
$\frac{2sin\alpha}{-cos\alpha} = -2\frac{sin\alpha}{cos\alpha} = -2tg\alpha$
Левая часть равна правой, тождество доказано для заданного интервала.
Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество $\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}} - \sqrt{\frac{1+cos\alpha}{1-cos\alpha}} = 2ctg\alpha$ при $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{\sqrt{(1-cos\alpha)^2} - \sqrt{(1+cos\alpha)^2}}{\sqrt{(1+cos\alpha)(1-cos\alpha)}} = \frac{|1-cos\alpha| - |1+cos\alpha|}{\sqrt{1-cos^2\alpha}}$
Знаменатель равен $\sqrt{sin^2\alpha} = |sin\alpha|$.
Рассмотрим интервал $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. В этом интервале (III четверть) $sin\alpha < 0$ и $cos\alpha < 0$.
Поскольку $-1 \le cos\alpha \le 1$ для любого $\alpha$, то выражения $1-cos\alpha$ и $1+cos\alpha$ всегда неотрицательны. Следовательно, $|1-cos\alpha| = 1-cos\alpha$ и $|1+cos\alpha| = 1+cos\alpha$.
В знаменателе $|sin\alpha| = -sin\alpha$, так как в III четверти синус отрицателен.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(1-cos\alpha) - (1+cos\alpha)}{-sin\alpha} = \frac{1-cos\alpha-1-cos\alpha}{-sin\alpha} = \frac{-2cos\alpha}{-sin\alpha}$
$\frac{-2cos\alpha}{-sin\alpha} = 2\frac{cos\alpha}{sin\alpha} = 2ctg\alpha$
Левая часть равна правой, тождество доказано для заданного интервала.
Ответ: тождество доказано.