Страница 289 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

990. Выяснить, может ли синус (косинус) принимать значения:

0,03; $2/3$; $5/3$; $11/13$; $-13/11$; $\sqrt{2}$.

Для того чтобы выяснить, может ли синус или косинус принимать указанные значения, необходимо вспомнить их область значений. Для любого угла $\alpha$ значения синуса и косинуса лежат в промежутке от -1 до 1 включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$-1 \le \sin(\alpha) \le 1$

$-1 \le \cos(\alpha) \le 1$

Другими словами, модуль синуса или косинуса не может быть больше единицы: $|\sin(\alpha)| \le 1$ и $|\cos(\alpha)| \le 1$. Проверим каждое из заданных значений на соответствие этому условию.

0,03
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le 0,03 \le 1$.
Поскольку $0,03$ является положительным числом, меньшим 1, оно находится в указанном промежутке.
Ответ: может.

$\frac{2}{3}$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{2}{3} \le 1$.
Дробь $\frac{2}{3}$ является правильной (числитель меньше знаменателя), ее значение приблизительно равно 0,67. Это значение находится в допустимом промежутке.
Ответ: может.

$\frac{5}{3}$
Проверим, выполняется ли неравенство $|\frac{5}{3}| \le 1$.
Значение дроби $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$, что очевидно больше 1. Следовательно, это значение выходит за пределы допустимого диапазона.
Ответ: не может.

$\frac{11}{13}$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le \frac{11}{13} \le 1$.
Дробь $\frac{11}{13}$ является правильной, ее значение меньше 1 и больше -1. Следовательно, оно находится в допустимом промежутке.
Ответ: может.

$-\frac{13}{11}$
Проверим, выполняется ли неравенство $-1 \le -\frac{13}{11} \le 1$.
Значение дроби $-\frac{13}{11} = -1\frac{2}{11}$, что меньше -1. Следовательно, это значение выходит за пределы допустимого диапазона.
Ответ: не может.

$\sqrt{2}$
Проверим, выполняется ли неравенство $|\sqrt{2}| \le 1$.
Приблизительное значение корня из двух $\sqrt{2} \approx 1,414$, что больше 1. Следовательно, это значение выходит за пределы допустимого диапазона.
Ответ: не может.

991. Выяснить, могут ли одновременно выполняться равенства:

1) sin $\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и cos $\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

2) sin $\alpha = -\frac{4}{5}$ и cos $\alpha = -\frac{3}{5}$;

3) sin $\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{5}$ и cos $\alpha = \frac{\sqrt{23}}{5}$;

4) sin $\alpha = 0,2$ и cos $\alpha = 0,8$.

Для того чтобы выяснить, могут ли данные равенства выполняться одновременно для одного и того же угла $\alpha$, необходимо проверить, удовлетворяют ли они основному тригонометрическому тождеству: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Если при подстановке заданных значений в это тождество оно обращается в верное равенство (т.е. $1=1$), то такие значения синуса и косинуса могут существовать одновременно. Если же равенство не выполняется, то не могут.

1) Дано: $sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Подставим эти значения в основное тригонометрическое тождество:
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{5}{9}$.
Поскольку $\frac{5}{9} \neq 1$, данные равенства не могут выполняться одновременно.
Ответ: не могут.

2) Дано: $sin\alpha = -\frac{4}{5}$ и $cos\alpha = -\frac{3}{5}$.
Подставим эти значения в тождество:
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
Поскольку $1 = 1$, тождество выполняется. Следовательно, данные равенства могут выполняться одновременно (это соответствует углу $\alpha$ в III координатной четверти).
Ответ: могут.

3) Дано: $sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{5}$ и $cos\alpha = \frac{\sqrt{23}}{5}$.
Подставим значения в тождество:
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = \left(-\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{23}}{5}\right)^2 = \frac{3}{25} + \frac{23}{25} = \frac{26}{25}$.
Поскольку $\frac{26}{25} \neq 1$, данные равенства не могут выполняться одновременно.
Ответ: не могут.

4) Дано: $sin\alpha = 0,2$ и $cos\alpha = 0,8$.
Подставим значения в тождество:
$sin^2\alpha + cos^2\alpha = (0,2)^2 + (0,8)^2 = 0,04 + 0,64 = 0,68$.
Поскольку $0,68 \neq 1$, данные равенства не могут выполняться одновременно.
Ответ: не могут.

992. Вычислить:

1) sin $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если $ \cos \alpha = -\frac{3}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

2) cos $ \alpha $, tg $ \alpha $ и ctg $ \alpha $, если $ \sin \alpha = -\frac{2}{5} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

1)

Дано: $cos(\alpha) = -\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти.

Для нахождения $sin(\alpha)$ используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Подставляем известное значение $cos(\alpha)$:

$sin^2(\alpha) + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1$

$sin^2(\alpha) + \frac{9}{25} = 1$

$sin^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$sin(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$

Во второй четверти синус имеет положительное значение, поэтому $sin(\alpha) = \frac{4}{5}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс.

$tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$.

$ctg(\alpha) = \frac{1}{tg(\alpha)} = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $sin(\alpha) = \frac{4}{5}$, $tg(\alpha) = -\frac{4}{3}$, $ctg(\alpha) = -\frac{3}{4}$.

2)

Дано: $sin(\alpha) = -\frac{2}{5}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в третьей координатной четверти.

Для нахождения $cos(\alpha)$ используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Подставляем известное значение $sin(\alpha)$:

$\left(-\frac{2}{5}\right)^2 + cos^2(\alpha) = 1$

$\frac{4}{25} + cos^2(\alpha) = 1$

$cos^2(\alpha) = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{21}{25}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{5}$

В третьей четверти косинус имеет отрицательное значение, поэтому $cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{21}}{5}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс. В третьей четверти они оба положительны.

$tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{-2/5}{-\sqrt{21}/5} = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21}$.

$ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = \frac{-\sqrt{21}/5}{-2/5} = \frac{\sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{21}}{5}$, $tg(\alpha) = \frac{2\sqrt{21}}{21}$, $ctg(\alpha) = \frac{\sqrt{21}}{2}$.

993. По одному из данных чисел $sin\alpha$, $cos\alpha$, $tg\alpha$ и $ctg\alpha$ найти остальные три:

1) $cos\alpha = \frac{5}{13}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

2) $sin\alpha = 0,8$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

3) $tg\alpha = -3$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

4) $ctg\alpha = \frac{7}{24}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

1) Дано: $ \cos\alpha = \frac{5}{13} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

Угол $ \alpha $ находится в IV четверти, где синус и тангенс отрицательны, а косинус положителен.

1. Найдем $ \sin\alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169} $

$ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $.

Так как угол $ \alpha $ в IV четверти, $ \sin\alpha $ отрицателен, поэтому $ \sin\alpha = -\frac{12}{13} $.

2. Найдем $ \text{tg}\,\alpha $ по формуле $ \text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

$ \text{tg}\,\alpha = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5} $.

3. Найдем $ \text{ctg}\,\alpha $ по формуле $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{\text{tg}\,\alpha} $.

$ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{-12/5} = -\frac{5}{12} $.

Ответ: $ \sin\alpha = -\frac{12}{13}, \text{tg}\,\alpha = -\frac{12}{5}, \text{ctg}\,\alpha = -\frac{5}{12} $.

2) Дано: $ \sin\alpha = 0,8 $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

Угол $ \alpha $ находится во II четверти, где синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны.

1. Найдем $ \cos\alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 $.

$ \cos\alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6 $.

Так как угол $ \alpha $ во II четверти, $ \cos\alpha $ отрицателен, поэтому $ \cos\alpha = -0,6 $.

2. Найдем $ \text{tg}\,\alpha $ по формуле $ \text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

$ \text{tg}\,\alpha = \frac{0,8}{-0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} $.

3. Найдем $ \text{ctg}\,\alpha $ по формуле $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{\text{tg}\,\alpha} $.

$ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4} $.

Ответ: $ \cos\alpha = -0,6, \text{tg}\,\alpha = -\frac{4}{3}, \text{ctg}\,\alpha = -\frac{3}{4} $.

3) Дано: $ \text{tg}\,\alpha = -3 $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

Угол $ \alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен, а синус и тангенс отрицательны.

1. Найдем $ \text{ctg}\,\alpha $ по формуле $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{\text{tg}\,\alpha} $.

$ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} $.

2. Найдем $ \cos\alpha $ с помощью тождества $ 1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $.

$ \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10 $.

$ \cos^2\alpha = \frac{1}{10} \implies \cos\alpha = \pm\frac{1}{\sqrt{10}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{10} $.

Так как угол $ \alpha $ в IV четверти, $ \cos\alpha $ положителен, поэтому $ \cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10} $.

3. Найдем $ \sin\alpha $ из формулы $ \text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \implies \sin\alpha = \text{tg}\,\alpha \cdot \cos\alpha $.

$ \sin\alpha = -3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = -\frac{3\sqrt{10}}{10} $.

Ответ: $ \sin\alpha = -\frac{3\sqrt{10}}{10}, \cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}, \text{ctg}\,\alpha = -\frac{1}{3} $.

4) Дано: $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{7}{24} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

Угол $ \alpha $ находится в III четверти, где тангенс и котангенс положительны, а синус и косинус отрицательны.

1. Найдем $ \text{tg}\,\alpha $ по формуле $ \text{tg}\,\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\,\alpha} $.

$ \text{tg}\,\alpha = \frac{1}{7/24} = \frac{24}{7} $.

2. Найдем $ \sin\alpha $ с помощью тождества $ 1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} $.

$ \frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + \left(\frac{7}{24}\right)^2 = 1 + \frac{49}{576} = \frac{576+49}{576} = \frac{625}{576} $.

$ \sin^2\alpha = \frac{576}{625} \implies \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25} $.

Так как угол $ \alpha $ в III четверти, $ \sin\alpha $ отрицателен, поэтому $ \sin\alpha = -\frac{24}{25} $.

3. Найдем $ \cos\alpha $ из формулы $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \implies \cos\alpha = \text{ctg}\,\alpha \cdot \sin\alpha $.

$ \cos\alpha = \frac{7}{24} \cdot \left(-\frac{24}{25}\right) = -\frac{7}{25} $.

Ответ: $ \sin\alpha = -\frac{24}{25}, \cos\alpha = -\frac{7}{25}, \text{tg}\,\alpha = \frac{24}{7} $.