Страница 290 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

994. Выяснить, какие значения может принимать:

1) cos $\alpha$, если sin $\alpha = \frac{2\sqrt{3}}{5}$;

2) sin $\alpha$, если cos $\alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}}$;

3) sin $\alpha$, если cos $\alpha = -\frac{2}{3}$;

4) cos $\alpha$, если sin $\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

1) cos α, если sin α = $ \frac{2\sqrt{3}}{5} $

Для нахождения значения $ \cos\alpha $, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Из этого тождества выразим $ \cos^2\alpha $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $

Теперь подставим заданное значение $ \sin\alpha = \frac{2\sqrt{3}}{5} $ в формулу:

$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{2^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{5^2} = 1 - \frac{4 \cdot 3}{25} = 1 - \frac{12}{25} $

Приведем к общему знаменателю и выполним вычитание:

$ \cos^2\alpha = \frac{25}{25} - \frac{12}{25} = \frac{13}{25} $

Чтобы найти $ \cos\alpha $, извлечем квадратный корень из полученного значения. Так как не указано, в какой четверти находится угол $ \alpha $, значение косинуса может быть как положительным, так и отрицательным.

$ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{13}{25}} = \pm\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{25}} = \pm\frac{\sqrt{13}}{5} $

Ответ: $ \pm\frac{\sqrt{13}}{5} $.

2) sin α, если cos α = $ -\frac{1}{\sqrt{5}} $

Используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Выразим $ \sin^2\alpha $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $

Подставим известное значение $ \cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{5} $

Вычислим разность:

$ \sin^2\alpha = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для $ \sin\alpha $:

$ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{4}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $:

$ \sin\alpha = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5} $

Ответ: $ \pm\frac{2\sqrt{5}}{5} $.

3) sin α, если cos α = $ -\frac{2}{3} $

Снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Выразим $ \sin^2\alpha $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $

Подставим значение $ \cos\alpha = -\frac{2}{3} $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} $

Выполним вычитание:

$ \sin^2\alpha = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} $

Извлекая квадратный корень, находим возможные значения для $ \sin\alpha $:

$ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} $

Ответ: $ \pm\frac{\sqrt{5}}{3} $.

4) cos α, если sin α = $ -\frac{1}{\sqrt{3}} $

Применим основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Выразим из него $ \cos^2\alpha $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $

Подставим данное значение $ \sin\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}} $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} $

Вычислим разность:

$ \cos^2\alpha = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $

Извлекая квадратный корень, находим возможные значения $ \cos\alpha $:

$ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив дробь на $ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $:

$ \cos\alpha = \pm\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3} $

Ответ: $ \pm\frac{\sqrt{6}}{3} $.

995. Выяснить, могут ли одновременно выполняться равенства:

1) $\sin\alpha = \frac{1}{5}$ и $\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\sqrt{24}};

2) $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$ и $\cos\alpha = \frac{3}{4}$.

1)

Для того чтобы выяснить, могут ли данные равенства выполняться одновременно, мы должны проверить, удовлетворяют ли они основным тригонометрическим тождествам. Один из способов — выразить косинус через синус, а затем проверить равенство для тангенса.

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Известно, что $\sin\alpha = \frac{1}{5}$. Подставим это значение в тождество:

$\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1$

$\frac{1}{25} + \cos^2\alpha = 1$

$\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{24}{25}} = \pm\frac{\sqrt{24}}{5}$.

Теперь используем определение тангенса: $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Подставим известные значения $\sin\alpha$ и найденные значения $\cos\alpha$:

$\text{tg}\,\alpha = \frac{1/5}{\pm\sqrt{24}/5} = \pm\frac{1}{\sqrt{24}}$.

В условии дано, что $\text{tg}\,\alpha = \frac{1}{\sqrt{24}}$. Это значение совпадает с одним из возможных вычисленных нами значений (при $\cos\alpha > 0$). Следовательно, существует такой угол $\alpha$ (в первой четверти), для которого оба равенства выполняются одновременно.

Ответ: да, могут.

2)

Проверим, могут ли эти равенства выполняться одновременно, используя тригонометрические тождества. Удобно использовать тождество, связывающее косинус и котангенс: $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Сначала найдем тангенс, зная котангенс: $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$.

$\text{tg}\,\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\,\alpha} = \frac{1}{\sqrt{7}/3} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.

Теперь подставим значения в тождество $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Вычислим левую часть равенства:

$1 + \text{tg}^2\alpha = 1 + \left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)^2 = 1 + \frac{9}{7} = \frac{7}{7} + \frac{9}{7} = \frac{16}{7}$.

Вычислим правую часть равенства, используя данное значение $\cos\alpha = \frac{3}{4}$:

$\frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{(3/4)^2} = \frac{1}{9/16} = \frac{16}{9}$.

Сравним полученные результаты:

$\frac{16}{7} \neq \frac{16}{9}$.

Поскольку значения, вычисленные для левой и правой частей тождества, не равны, данные равенства не могут выполняться одновременно для одного и того же угла $\alpha$.

Ответ: нет, не могут.

996. Пусть $\alpha$ — один из углов прямоугольного треугольника.

Найти $\cos\alpha$ и $\operatorname{tg}\alpha$, если $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{10}}{11}$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Нам дано, что α — это один из углов прямоугольного треугольника, следовательно, это острый угол ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Для таких углов значения всех тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс) положительны.

cos α

Для нахождения косинуса угла α используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

Выразим из этого тождества $cos^2\alpha$:

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$

Подставим известное значение $sin\alpha = \frac{2\sqrt{10}}{11}$ в формулу:

$cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{10}}{11}\right)^2 = 1 - \frac{2^2 \cdot (\sqrt{10})^2}{11^2} = 1 - \frac{4 \cdot 10}{121} = 1 - \frac{40}{121}$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$cos^2\alpha = \frac{121}{121} - \frac{40}{121} = \frac{121 - 40}{121} = \frac{81}{121}$

Теперь найдем $cos\alpha$, извлекая квадратный корень. Поскольку α — острый угол, его косинус положителен:

$cos\alpha = \sqrt{\frac{81}{121}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{121}} = \frac{9}{11}$

Ответ: $cos\alpha = \frac{9}{11}$

tg α

Тангенс угла α определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу: $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$.

Мы знаем, что $sin\alpha = \frac{2\sqrt{10}}{11}$ и мы нашли, что $cos\alpha = \frac{9}{11}$. Подставим эти значения в формулу для тангенса:

$tg\alpha = \frac{\frac{2\sqrt{10}}{11}}{\frac{9}{11}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$tg\alpha = \frac{2\sqrt{10}}{11} \cdot \frac{11}{9}$

Сокращаем знаменатель 11 и получаем конечный результат:

$tg\alpha = \frac{2\sqrt{10}}{9}$

Ответ: $tg\alpha = \frac{2\sqrt{10}}{9}$

997. Известно, что tg $\alpha = 2$. Найти значение выражения:

1) $\frac{\text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha}{\text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha}$;

2) $\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}$;

3) $\frac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{3\sin\alpha - 5\cos\alpha}$;

4) $\frac{\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}$.

1) Поскольку $ \text{tg}\,\alpha = 2 $, мы можем найти $ \text{ctg}\,\alpha $, используя тождество $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{\text{tg}\,\alpha} $.
$ \text{ctg}\,\alpha = \frac{1}{2} $.
Теперь подставим значения $ \text{tg}\,\alpha $ и $ \text{ctg}\,\alpha $ в данное выражение:
$ \frac{\text{ctg}\,\alpha + \text{tg}\,\alpha}{\text{ctg}\,\alpha - \text{tg}\,\alpha} = \frac{\frac{1}{2} + 2}{\frac{1}{2} - 2} = \frac{\frac{1+4}{2}}{\frac{1-4}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}} = \frac{5}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{5}{3} $.
Ответ: $ -\frac{5}{3} $.

2) Чтобы выразить $ \frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} $ через $ \text{tg}\,\alpha $, разделим числитель и знаменатель дроби на $ \cos\alpha $. Это действие допустимо, так как если бы $ \cos\alpha = 0 $, то $ \text{tg}\,\alpha $ был бы не определен, что противоречит условию $ \text{tg}\,\alpha = 2 $.
$ \frac{\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\text{tg}\,\alpha - 1}{\text{tg}\,\alpha + 1} $.
Подставим значение $ \text{tg}\,\alpha = 2 $ в полученное выражение:
$ \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

3) Используем тот же подход, что и в предыдущем пункте. Разделим числитель и знаменатель дроби $ \frac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{3\sin\alpha - 5\cos\alpha} $ на $ \cos\alpha $:
$ \frac{\frac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{3\sin\alpha - 5\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + 3\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{3\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 5\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{2\text{tg}\,\alpha + 3}{3\text{tg}\,\alpha - 5} $.
Подставим значение $ \text{tg}\,\alpha = 2 $:
$ \frac{2(2) + 3}{3(2) - 5} = \frac{4 + 3}{6 - 5} = \frac{7}{1} = 7 $.
Ответ: $ 7 $.

4) Для преобразования выражения $ \frac{\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha} $ разделим числитель и знаменатель на $ \cos^2\alpha $ (так как $ \cos\alpha \neq 0 $):
$ \frac{\frac{\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 2\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\text{tg}^2\alpha + 2}{\text{tg}^2\alpha - 1} $.
Так как $ \text{tg}\,\alpha = 2 $, то $ \text{tg}^2\alpha = (2)^2 = 4 $.
Подставим это значение в выражение:
$ \frac{4 + 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 $.
Ответ: $ 2 $.

998. Известно, что $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2}$. Найти:

1) $\sin\alpha \cos\alpha$;

2) $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha$.

1) $\sin\alpha \cos\alpha$
Для нахождения произведения $\sin\alpha \cos\alpha$, воспользуемся данным равенством $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2}$.
Возведем обе части этого равенства в квадрат:
$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = (\frac{1}{2})^2$
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{1}{4}$
Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4}$
$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4}$
Теперь выразим из этого уравнения искомое произведение. Сначала найдем $2\sin\alpha\cos\alpha$:
$2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4} - 1$
$2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4} - \frac{4}{4}$
$2\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{4}$
Разделим обе части на 2:
$\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{8}$
Ответ: $-\frac{3}{8}$

2) $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha$
Для нахождения значения этого выражения воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применим эту формулу к нашему выражению:
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)(\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha)$
Во второй скобке сгруппируем слагаемые и снова применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)((\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - \sin\alpha\cos\alpha)$
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)(1 - \sin\alpha\cos\alpha)$
Теперь подставим известные значения:
Из условия задачи нам известно, что $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2}$.
Из решения пункта 1 мы нашли, что $\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{8}$.
Подставляем эти значения в полученную формулу:
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \frac{1}{2} \cdot (1 - (-\frac{3}{8}))$
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{3}{8})$
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \frac{1}{2} \cdot (\frac{8}{8} + \frac{3}{8})$
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8}$
$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \frac{11}{16}$
Ответ: $\frac{11}{16}$

999. Упростить:

1) $ \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha; $

2) $ \cos^2 \alpha + \operatorname{ctg}^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha}; $

3) $ \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \operatorname{tg}^2 \alpha(\cos^2 \alpha + 1); $

4) $ \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 - \sin \alpha}. $

Исходное выражение: $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

Для упрощения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$. Из этого тождества следует, что разность $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha$ равна 1.

Подставим это в исходное выражение, сгруппировав первые два члена: $(\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha) - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Далее, применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого получаем, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Таким образом, исходное выражение упрощается до $\cos^2 \alpha$.

Ответ: $\cos^2 \alpha$.

Исходное выражение: $\cos^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

Используем тригонометрическое тождество, связывающее котангенс и синус: $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Из него следует, что $\text{ctg}^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha} = -1$.

Сгруппируем второй и третий члены в исходном выражении и выполним подстановку: $\cos^2 \alpha + (\text{ctg}^2 \alpha - \frac{1}{\sin^2 \alpha}) = \cos^2 \alpha - 1$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.

Следовательно, результат упрощения равен $-\sin^2 \alpha$.

Ответ: $-\sin^2 \alpha$.

Исходное выражение: $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha(\cos^2 \alpha + 1)$.

Сначала раскроем скобки, умножив $\text{tg}^2 \alpha$ на каждый член в скобках: $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha \cdot 1$.

Теперь упростим член $\text{tg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha$, используя определение тангенса $\text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$: $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.

Подставим полученный результат обратно в выражение: $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha$.

Перегруппируем члены, чтобы снова использовать тождество $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$: $(\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha) - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Используя основное тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Ответ: $\cos^2 \alpha$.

Исходное выражение: $\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1 - \sin \alpha}$.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)$. По формуле разности квадратов, это произведение равно $1^2 - \sin^2 \alpha$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, заменяем $1 - \sin^2 \alpha$ на $\cos^2 \alpha$.

Теперь выполним сложение дробей, домножив числитель первой дроби на $(1 - \sin \alpha)$, а второй — на $(1 + \sin \alpha)$: $\frac{\cos \alpha (1 - \sin \alpha) + \sin \alpha (1 + \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha + \sin \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Данное выражение представлено в виде одной дроби и не подлежит дальнейшему стандартному упрощению.

Ответ: $\frac{\cos \alpha + \sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Примечание: Зачастую в подобных заданиях на упрощение ответ получается более коротким. Возможно, в условии задачи допущена опечатка и в числителе второй дроби должен стоять $\cos \alpha$. Если предположить, что верное выражение $\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}$, то решение будет следующим:

$\frac{\cos \alpha (1 - \sin \alpha) + \cos \alpha (1 + \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha (1 - \sin \alpha + 1 + \sin \alpha)}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos \alpha \cdot 2}{\cos^2 \alpha} = \frac{2}{\cos \alpha}$.

1000. Известно, что $sin \alpha + cos \alpha = p$. Найти:

1) $sin \alpha - cos \alpha$;

2) $sin^4 \alpha + cos^4 \alpha$.

Дано: $\sin \alpha + \cos \alpha = p$.

1) $\sin \alpha - \cos \alpha$;

Для решения этой задачи удобно использовать метод возведения в квадрат.
Возведем в квадрат исходное равенство:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = p^2$
$\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = p^2$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:
$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = p^2$
Отсюда можно выразить произведение синуса и косинуса:
$2 \sin \alpha \cos \alpha = p^2 - 1$

Теперь обозначим искомое выражение как $x$:
$x = \sin \alpha - \cos \alpha$
Возведем это выражение в квадрат:
$x^2 = (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$
$x^2 = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$
Снова используем основное тригонометрическое тождество:
$x^2 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2 \sin \alpha \cos \alpha$
$x^2 = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha$

Подставим найденное ранее выражение для $2 \sin \alpha \cos \alpha$:
$x^2 = 1 - (p^2 - 1)$
$x^2 = 1 - p^2 + 1$
$x^2 = 2 - p^2$

Извлекая квадратный корень, получаем:
$x = \pm \sqrt{2 - p^2}$
Знак зависит от значения угла $\alpha$, которое нам неизвестно, поэтому в общем случае решением являются оба значения. Заметим, что для существования решения в действительных числах должно выполняться условие $2 - p^2 \ge 0$, то есть $|p| \le \sqrt{2}$, что соответствует области значений выражения $\sin \alpha + \cos \alpha$.
Ответ: $\pm \sqrt{2 - p^2}$

2) $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$.

Преобразуем искомое выражение, используя формулу квадрата суммы:
$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha)^2$
Дополним до полного квадрата суммы:
$(\sin^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:
$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2 (\sin \alpha \cos \alpha)^2$

Из решения первого пункта мы знаем, что $2 \sin \alpha \cos \alpha = p^2 - 1$.
Отсюда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{p^2 - 1}{2}$.
Подставим это в наше выражение:
$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2 \left( \frac{p^2 - 1}{2} \right)^2$
$= 1 - 2 \cdot \frac{(p^2 - 1)^2}{4}$
$= 1 - \frac{(p^2 - 1)^2}{2}$
Раскроем скобки в числителе:
$= 1 - \frac{p^4 - 2p^2 + 1}{2}$
Приведем к общему знаменателю:
$= \frac{2 - (p^4 - 2p^2 + 1)}{2}$
$= \frac{2 - p^4 + 2p^2 - 1}{2}$
$= \frac{1 + 2p^2 - p^4}{2}$
Ответ: $\frac{1 + 2p^2 - p^4}{2}$

1001. Известно, что $tg\alpha + ctg\alpha = m$. Найти:

1) $tg^2 \alpha + ctg^2 \alpha$;

2) $tg\alpha - ctg\alpha$;

3) $tg^3 \alpha + ctg^3 \alpha$.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать исходное равенство $ \tg \alpha + \ctg \alpha = m $ и основное тригонометрическое тождество $ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $.

1) tg² α + ctg² α;

Чтобы найти сумму квадратов, возведем обе части исходного равенства в квадрат:

$ (\tg \alpha + \ctg \alpha)^2 = m^2 $

Применим формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ \tg^2 \alpha + 2 \cdot \tg \alpha \cdot \ctg \alpha + \ctg^2 \alpha = m^2 $

Теперь подставим известное значение $ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $ в полученное выражение:

$ \tg^2 \alpha + 2 \cdot 1 + \ctg^2 \alpha = m^2 $

Перенесем 2 в правую часть, чтобы выразить искомую величину:

$ \tg^2 \alpha + \ctg^2 \alpha = m^2 - 2 $

Ответ: $ m^2 - 2 $

2) tg α - ctg α;

Пусть искомое выражение равно $ X $, то есть $ X = \tg \alpha - \ctg \alpha $. Возведем это равенство в квадрат:

$ X^2 = (\tg \alpha - \ctg \alpha)^2 $

Применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ X^2 = \tg^2 \alpha - 2 \cdot \tg \alpha \cdot \ctg \alpha + \ctg^2 \alpha $

Сгруппируем члены и подставим $ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $:

$ X^2 = (\tg^2 \alpha + \ctg^2 \alpha) - 2 $

Из результата первого пункта мы знаем, что $ \tg^2 \alpha + \ctg^2 \alpha = m^2 - 2 $. Подставим это в наше уравнение:

$ X^2 = (m^2 - 2) - 2 $

$ X^2 = m^2 - 4 $

Чтобы найти $ X $, извлечем квадратный корень. Поскольку знак разности $ \tg \alpha - \ctg \alpha $ заранее неизвестен, возможны два решения:

$ X = \pm \sqrt{m^2 - 4} $

Отметим, что для существования действительного угла $ \alpha $ должно выполняться условие $ m^2 - 4 \ge 0 $, то есть $ |m| \ge 2 $.

Ответ: $ \pm \sqrt{m^2 - 4} $

3) tg³ α + ctg³ α.

Для нахождения суммы кубов можно возвести исходное равенство в куб или использовать формулу суммы кубов. Воспользуемся вторым подходом, который является более прямым. Возведем $ \tg \alpha + \ctg \alpha = m $ в куб:

$ (\tg \alpha + \ctg \alpha)^3 = m^3 $

Используем формулу куба суммы $ (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) $:

$ \tg^3 \alpha + \ctg^3 \alpha + 3 \cdot \tg \alpha \cdot \ctg \alpha \cdot (\tg \alpha + \ctg \alpha) = m^3 $

Подставим известные нам значения $ \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 $ и $ \tg \alpha + \ctg \alpha = m $:

$ \tg^3 \alpha + \ctg^3 \alpha + 3 \cdot 1 \cdot m = m^3 $

Упростим и выразим искомую сумму кубов:

$ \tg^3 \alpha + \ctg^3 \alpha = m^3 - 3m $

Ответ: $ m^3 - 3m $