Номер 995, страница 290 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

995. Выяснить, могут ли одновременно выполняться равенства:

1) $\sin\alpha = \frac{1}{5}$ и $\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\sqrt{24}};

2) $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$ и $\cos\alpha = \frac{3}{4}$.

1)

Для того чтобы выяснить, могут ли данные равенства выполняться одновременно, мы должны проверить, удовлетворяют ли они основным тригонометрическим тождествам. Один из способов — выразить косинус через синус, а затем проверить равенство для тангенса.

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Известно, что $\sin\alpha = \frac{1}{5}$. Подставим это значение в тождество:

$\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1$

$\frac{1}{25} + \cos^2\alpha = 1$

$\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{24}{25}} = \pm\frac{\sqrt{24}}{5}$.

Теперь используем определение тангенса: $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Подставим известные значения $\sin\alpha$ и найденные значения $\cos\alpha$:

$\text{tg}\,\alpha = \frac{1/5}{\pm\sqrt{24}/5} = \pm\frac{1}{\sqrt{24}}$.

В условии дано, что $\text{tg}\,\alpha = \frac{1}{\sqrt{24}}$. Это значение совпадает с одним из возможных вычисленных нами значений (при $\cos\alpha > 0$). Следовательно, существует такой угол $\alpha$ (в первой четверти), для которого оба равенства выполняются одновременно.

Ответ: да, могут.

2)

Проверим, могут ли эти равенства выполняться одновременно, используя тригонометрические тождества. Удобно использовать тождество, связывающее косинус и котангенс: $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Сначала найдем тангенс, зная котангенс: $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$.

$\text{tg}\,\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\,\alpha} = \frac{1}{\sqrt{7}/3} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.

Теперь подставим значения в тождество $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Вычислим левую часть равенства:

$1 + \text{tg}^2\alpha = 1 + \left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)^2 = 1 + \frac{9}{7} = \frac{7}{7} + \frac{9}{7} = \frac{16}{7}$.

Вычислим правую часть равенства, используя данное значение $\cos\alpha = \frac{3}{4}$:

$\frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{(3/4)^2} = \frac{1}{9/16} = \frac{16}{9}$.

Сравним полученные результаты:

$\frac{16}{7} \neq \frac{16}{9}$.

Поскольку значения, вычисленные для левой и правой частей тождества, не равны, данные равенства не могут выполняться одновременно для одного и того же угла $\alpha$.

Ответ: нет, не могут.